[논문 리뷰] Wasserstein Complexity of Quantum Circuits

Lu Li, Kaifeng Bu외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 12.

Commutative Algebra and Its Applications인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 지구 이동 거리(earth mover's distance)로도 알려진 1차 순서의 양자 워셔스타인 거리 기반으로, 새로운 양자 회로 복잡도 측정법인 양자 워셔스타인 복잡도를 제안한다. 이 측정법은 양자 회로의 회로 비용과 실험적 구현 비용 모두에 하한을 제공하며, 양자 자원 요구량을 정량화하는 데 새로운 기하학적 프레임워크를 제공하고, 자원을 계산 능력으로 전환하는 데 있어 양자적 한계를 드러낸다.

ABSTRACT

Given a unitary transformation, what is the size of the smallest quantum circuit that implements it? This quantity, known as the quantum circuit complexity, is a fundamental property of quantum evolutions that has widespread applications in many fields, including quantum computation, quantum field theory, and black hole physics. In this letter, we obtain a new lower bound for the quantum circuit complexity in terms of a novel complexity measure that we propose for quantum circuits, which we call the quantum Wasserstein complexity. Our proposed measure is based on the quantum Wasserstein distance of order one (also called the quantum earth mover's distance), a metric on the space of quantum states. We also prove several fundamental and important properties of our new complexity measure, which stand to be of independent interest. Finally, we show that our new measure also provides a lower bound for the experimental cost of implementing quantum circuits, which implies a quantum limit on converting quantum resources to computational resources. Our results provide novel applications of the quantum Wasserstein distance and pave the way for a deeper understanding of the resources needed to implement a quantum computation.

연구 동기 및 목표

• 양자 최적 운반 이론 기반으로 새로운 양자 회로 복잡도 측정법을 개발하는 것.
• 1차 순서의 양자 워셔스타인 거리를 사용하여 양자 회로 복잡도에 대한 엄밀한 하한을 확립하는 것.
• 새로운 복잡도 측정법을 실험적 양자 계산에서의 물리적 구현 비용과 연결하는 것.
• 리만 기하학과 양자 상태 진화에 기반한 기하학적 프레임워크를 제공하여 회로 자원을 분석하는 것.
• 양자 워셔스타인 복잡도가 이론적 회로 비용과 실험적 자원 비용 모두에 하한을 제공함을 보여주며, 물리적 자원을 계산 능력으로 전환하는 데 있어 기본적인 양자적 한계를 드러내는 것.

제안 방법

• 밀도 행렬의 양자 워셔스타인 거리의 1차 순서(지구 이동 거리) 기반으로 새로운 복잡도 측정법 $ C_{W_1}(U) $ 를 제안한다.
• 이월의 경로 적분 방법을 사용하여 양자 회로의 진화를 단위 연산자 시퀀스로 근사하고, 상태 진화를 밀도 연산자 공간 내 곡선으로 모델링한다.
• 삼각 부등식과 트레이스 노름의 경계를 적용하여 워셔스타인 거리를 단위 연산 진화 하에서 상태의 총 변화량과 연결한다.
• 해밀토니안의 분산을 통한 양자 속도 한계를 활용하여 상태 변화 속도를 제어하고 비용 경계를 유도한다.
• 핵심 부등식 $ \operatorname{Cost}(U) \geq 4\sqrt{2} C_{W_1}(U) $ 를 유도하여, 회로 비용이 워셔스타인 복잡도에 의해 하한이 있음을 보여준다.
• 이를 실험 비용 $ \mathcal{R}(U) $ 로 확장하여 $ \mathcal{R}(U) \geq \frac{1}{2} C_{W_1}(U) $ 를 증명함으로써, 이론적 복잡도와 물리적 구현 에너지 및 시간 간의 연결 고리를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차 순서의 양자 워셔스타인 거리는 양자 회로에 대한 의미 있는 복잡도 측정법을 정의하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 제안된 양자 워셔스타인 복잡도는 표준 회로 비용과 실험적 구현 비용과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 최적 운반 이론에서 유도된 양자 회로 복잡도의 하한을 뒷받침하는 기하학적 및 물리적 원리는 무엇인가?
• RQ4 이 새로운 복잡도 측정법은 물리적 자원을 계산 능력으로 전환하는 데 있어 기본적인 양자적 한계를 드러낼 수 있는가?
• RQ5 워셔스타인 복잡도는 기존의 얽힘 능력 또는 마법성(magic)과 같은 측정법보다 더 날카롭거나 더 견고한 하한을 제공하는가?

주요 결과

• 양자 회로 비용 $ \operatorname{Cost}(U) $ 는 $ 4\sqrt{2} C_{W_1}(U) $ 에 의해 하한이 보장되며, 이는 워셔스타인 복잡도와 회로 자원 비용 간의 직접적인 정량적 연관성을 확립한다.
• 양자 회로를 구현하는 데 드는 실험 비용 $ \mathcal{R}(U) $ 는 $ \frac{1}{2} C_{W_1}(U) $ 에 의해 하한이 보장되며, 이는 물리적 구현 비용이 새로운 복잡도 측정법에 의해 제약을 받음을 보여준다.
• 워셔스타인 복잡도 $ C_{W_1}(U) $ 는 회로 진화 경로 동안의 밀도 행렬 간의 $ W_1 $-거리에 의해 정의되며, 이는 회로 복잡도의 기하학적 해석을 제공한다.
• 이 하한은 순수 상태와 혼합 상태 모두에 대해 성립하며, 보조 큐비트를 포함한 회로로도 확장 가능하여 광범위하게 적용 가능하다.
• 결과적으로 물리적 자원(에너지, 시간 등)을 계산 자원으로 전환하는 효율성에 대해 양자적 한계가 존재하며, 실험 비용은 워셔스타인 복잡도 이하로는 임의로 감소시킬 수 없다는 점이 드러난다.
• 이 방법은 견고하고 일반적이며, $ n $-큐비트 시스템과 $ (n+m) $-큐디트 시스템 모두에 적용 가능하며, 유도된 경계는 특정 게이트 세트나 회로 분해에 독립적이다.