[논문 리뷰] Wasserstein Solution Quality and the Quantum Approximate Optimization Algorithm: A Portfolio Optimization Case Study

Jack S. Baker, Santosh Kumar Radha|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 솔루션 품질 평가를 위한 응용 분야 특화 기준으로 정규화된 보완 워셔스타인 거리(η)를 사용하여 포트폴리오 최적화를 위한 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)을 평가한다. 실질적인 QPU에서 n=2일 경우 p=5에서, n=3일 경우 p=4에서 솔루션 품질이 최고조에 이르며, 도함수를 요구하지 않는 최적화기법이 도함수를 요구하는 것보다 우수한 성능을 보이며, 측정 샘플 수를 초월하는 솔루션 품질의 변동성이 핵심 성능 지표로 규명된다.

ABSTRACT

Optimizing of a portfolio of financial assets is a critical industrial problem which can be approximately solved using algorithms suitable for quantum processing units (QPUs). We benchmark the success of this approach using the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA); an algorithm targeting gate-model QPUs. Our focus is on the quality of solutions achieved as determined by the Normalized and Complementary Wasserstein Distance, $η$, which we present in a manner to expose the QAOA as a transporter of probability. Using $η$ as an application specific benchmark of performance, we measure it on selection of QPUs as a function of QAOA circuit depth $p$. At $n = 2$ (2 qubits) we find peak solution quality at $p=5$ for most systems and for $n = 3$ this peak is at $p=4$ on a trapped ion QPU. Increasing solution quality with $p$ is also observed using variants of the more general Quantum Alternating Operator Ansätz at $p=2$ for $n = 2$ and $3$ which has not been previously reported. In identical measurements, $η$ is observed to be variable at a level exceeding the noise produced from the finite number of shots. This suggests that variability itself should be regarded as a QPU performance benchmark for given applications. While studying the ideal execution of QAOA, we find that $p=1$ solution quality degrades when the portfolio budget $B$ approaches $n/2$ and increases when $B \approx 1$ or $n-1$. This trend directly corresponds to the binomial coefficient $nCB$ and is connected with the recently reported phenomenon of reachability deficits. Derivative-requiring and derivative-free classical optimizers are benchmarked on the basis of the achieved $η$ beyond $p=1$ to find that derivative-free optimizers are generally more effective for the given computational resources, problem sizes and circuit depths.

연구 동기 및 목표

• 의미-분산 포트폴리오 최적화(MVPO)라는 중요한 금융 최적화 문제에 대해 실질적인 양자 처리 장치(QPU)에서 QAOA 성능을 평가하는 것.
• QAOA 기반 조합 최적화에서 솔루션 품질 평가를 위한 새로운 응용 분야 특화 지표로 정규화된 보완 워셔스타인 거리(η)를 제안하는 것.
• 회로 깊이(p), 문제 크기(n), 최적화기 유형이 시뮬레이터 및 실질적인 QPU에서 솔루션 품질에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 측정 샘플 수를 초월하는 QAOA 성능의 변동성 원인을 규명하고, 변동성 자체를 QPU 평가 기준으로 삼을 것을 제안하는 것.
• 실제 QPU에 하드 제약 조건을 적용한 QAOA의 최초 구현을 보여주고, 다양한 하드웨어 플랫폼 간 성능을 비교하는 것.

제안 방법

• MVPO 문제를 이원형 무제약 이차 최적화(QUBO) 문제로 재구성하고, QAOA에 적합한 비용 해밀토니안으로 매핑한다.
• 측정된 솔루션 분포와 진정한 최적 솔루션 분포 사이의 거리를 정량화하기 위해 정규화된 보완 워셔스타인 거리(η)를 사용한다.
• 회로 깊이 p를 1에서 5까지 다양화하여, 조밀한 상태벡터 시뮬레이터와 실질적인 게이트 모델 QPU(IBM 및 트랩드 이온 시스템 포함)에서 QAOA를 실행한다.
• 비용 해밀토니안 기대값을 최소화하기 위해 고전적 블랙박스 최적화기—도함수를 요구하지 않는(예: 넬더-미드, COBYLA) 및 도함수를 요구하는(예: BFGS) 기법들을 비교 평가한다.
• 하드 제약 조건과 소프트 제약 조건을 갖춘 QAOA 변형을 비교하며, 하드 제약 조건 QAOA가 더 우수한 최적화 경로 조건을 제공하는 것으로 나타났다.
• 실제 NISQ 조건을 반영하기 위해 유한한 수의 측정 샘플 수를 사용하고, 최적화기 성능에 미치는 확률적 노이즈의 영향을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실제 QPU에서 포트폴리오 최적화에 대한 QAOA 솔루션 품질은 회로 깊이(p)에 따라 어떻게 변화하며, 최고 성능이 나타나는 p 값은 무엇인가?
• RQ2 반복 최적화 과정에서 솔루션 품질의 변동성이 유한 측정 샘플에서 기인하는 노이즈를 초월하는 정도는 어느 정도이며, 이는 QPU 평가에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ3 실제 계산 제약 조건 하에서 QAOA 비용 함수 최소화에 있어 도함수를 요구하지 않는 최적화기와 도함수를 요구하는 최적화기의 성능은 어떻게 비교되는가?
• RQ4 포트폴리오 예산 B가 n/2에 가까워질수록 QAOA 솔루션 품질이 악화되는 이유는 무엇이며, 이는 이항계수 nCB와 어떤 관련이 있는가?
• RQ5 워셔스타인 거리 지표(η)는 다양한 QPU와 문제 인스턴스 간 QAOA 성능 평가에 신뢰할 수 있는 응용 분야 특화 기준으로 활용될 수 있는가?

주요 결과

• n=2인 경우 대부분의 QPU에서 p=5에서 정규화된 보완 워셔스타인 거리(η) 기준 솔루션 품질이 최고조에 이른다. n=3인 경우 트랩드 이온 QPU에서 p=4에서 최고 성능을 기록한다.
• 표준 QAOA와 더 일반적인 양자 교호 작용 연산자 안사드(QAOA) 모두에서 솔루션 품질은 회로 깊이 p가 증가함에 따라 향상되며, n=2 및 n=3에 대해 p=2일 때 이전에 보고되지 않은 개선이 관찰된다.
• 반복 최적화 과정에서 솔루션 품질의 변동성이 유한 측정 샘플에서 기인하는 확률적 노이즈를 초월하며, 이는 변동성 자체를 핵심 QPU 성능 평가 기준으로 고려해야 한다는 것을 시사한다.
• 솔루션 품질이 가장 낮아지는 경우는 포트폴리오 예산 B가 n/2에 가까워질 때이며, 이는 이항계수 nCB의 최소값과 관련이 있어 도달 가능성 결함과의 연관성이 제기된다.
• 동일한 계산 예산과 문제 크기 하에서 도함수를 요구하지 않는 최적화기들이 도함수를 요구하는 최적화기들보다 항상 더 우수한 η 값을 기록한다.
• IBM QPU 중에서는 동일한 토폴로지일지라도 더 낮은 양자 볼륨(QV) 장치가 더 높은 QV 장치를 초월해 성능을 냈다. 이는 일반 기준인 QV가 응용 분야 특화 성능을 예측하는 데는 예측력이 없다는 것을 시사한다.