[논문 리뷰] Wave Dispersion in the Linearised Fractional Korteweg - de Vries equation

Ivano Colombaro, Andrea Giusti외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 08.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형화된 분수계 Korteweg-de Vries (KdV) 방정식에서 분수계 시간 도함수를 사용한 위상속도와 군속도를 고전적 및 운동파 방정식과 비교하여 파동 분산을 조사한다. $α$ 순서의 분수계 Caputo 도함수를 사용하여, 분산 관계가 복소수로 변환되어 위상속도와 군속도에 실수부와 허수부가 비자명하게 나타나며, 특히 $α ≠ 1일 때 다양한 $α$ 값에서 상이한 행동을 보이며, $α = 1/2$일 때는 전체적으로 허수속도가 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we discuss some properties of linear fractional dispersive waves. In particular, we compare the dispersion relations emerging from the kinematic wave equation and from the linearised Korteweg - de Vries equation with the corresponding time-fractionalized versions. For this purpose, we evaluate the expressions for the phase velocity and for the group velocity, highlighting the differences not only analytically, but also by means of illuminating plots.

연구 동기 및 목표

• 분수계 시간 도함수가 선형 분산 시스템에서 파동 분산을 어떻게 수정하는지 분석하기 위해.
• 고전적 및 분수계 운동파 및 선형화된 KdV 방정식 간의 분산 관계, 위상속도, 군속도를 비교하기 위해.
• 분수계 도함수로 인해 발생하는 복소수 위상속도 및 군속도의 기원을 조사하기 위해.
• 특히 $α = 1/2$ 및 $α = 3/4$에서 $α$ 가 변화함에 따라 실수부에서 허수부로의 전이를 수치적으로 시각화하기 위해.

제안 방법

• 푸리에 변환을 사용하여 일반 및 분수계 시간 도함수를 포함한 선형화된 KdV 방정식의 분산 관계를 유도한다.
• 메모리 효과를 모델링하기 위해 $α \in (0,1)$ 순서의 Caputo 분수계 도함수를 적용한다.
• 각도 주파수 $ω(k)$를 $i^{-1+1/\alpha}$를 포함하는 복소수 함수로 표현하여 복소수 위상속도 및 군속도를 도출한다.
• 실수부와 허수부를 $\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}$의 삼각함수를 사용하여 계산한다.
• $α = 1$, $α = 1/2$, $α = 3/4$ 포함한 다양한 $α$ 값에서 위상속도 및 군속도를 비교하기 위해 수치적 플롯을 사용한다.
• 위상속도 및 군속도의 실수부 또는 허수부가 일치하는 임계점에서의 속도 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1阶 시간 도함수를 분수계 Caputo 도함수($\alpha$ 순서)로 대체할 경우 운동파 방정식의 분산 관계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 다양한 $α$ 값에서 분수계 선형화된 KdV 방정식의 위상속도 및 군속도의 분석적 및 수치적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 위상속도 및 군속도가 순수하게 허수로 변할 조건은 무엇이며, 이는 어떤 물리적 의미를 갖는가?
• RQ4 고전적 및 분수계 KdV 방정식 간의 위상속도 및 군속도의 실수부와 허수부는 어떻게 다를까?
• RQ5 위상속도 및 군속도의 실수부가 사라지는 $α$ 값이 존재하는가? 그에 해당하는 수학적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 분수계 운동파 방정식에서 위상속도 $v_p(k)$는 복소수로 변환되며, 실수부는 $\cos\left(\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}\right)k^{1/\alpha - 1}$ 비례한다.
• $\alpha = 1/2$일 때 실수부의余弦 항이 사라지며, 이는 인자 값이 $\pi/2$이기 때문에 위상속도 및 군속도가 순수하게 허수로 변한다.
• 분수계 선형화된 KdV 방정식에서 위상속도는 $v_p(k) = \cos\left(\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}\right)\left(k^{1-\alpha} - k^{3-\alpha}\right)^{1/\alpha}$로 주어지며, 비자명한 분산을 나타낸다.
• 분수계 KdV 방정식의 군속도 $v_g(k)$는 $\frac{1}{\alpha}\cos\left(\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}\right)\left(k - k^3\right)^{1/\alpha - 1}\left(1 - 3k^2\right)$로 주어지며, $k$ 및 $\alpha$에 강하게 의존함을 나타낸다.
• 수치적 결과는 $α = 3/4$일 때 위상속도 및 군속도의 실수부와 허수부가 모두 비영임을 보여주며, 혼합된 행동을 나타낸다.
• 특정 $k$ 값에서 $\text{Re}(\overline{v_p}) = \text{Re}(v_g)$ 및 $\text{Im}(\overline{v_p}) = \text{Im}(v_g)$가 성립함을 확인하였으며, 이는 복소수 속도 평면상에서 공진과 유사한 점이 존재함을 시사한다.