[논문 리뷰] Wavelet Analysis of the Besov Regularity of Lévy White Noises

Shayan Aziznejad, Julien Fageot|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 69인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 웨이블릿 기반 방법을 사용하여 레비 화이트 노이즈의 국소적 부드러움과 점점 증가하는 성장을 특성화함으로써, 정확한 베소프 정규성을 확립한다. 웨이블릿 계수에 대한 새로운 모멘트 추정치를 도입하고, 가중 베소프 공간에의 포함성을 위한 날카운 임계 지표를 규명하여, 이전에 알려진 국소적 부드러움과 성장률에 대한 경계의 날카움에 대한 열린 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We characterize the local smoothness and the asymptotic growth rate of the Lévy white noise. We do so by characterizing the weighted Besov spaces in which it is located. We extend known results in two ways. First, we obtain new bounds for the local smoothness via the Blumenthal-Getoor indices of the Lévy white noise. We also deduce the critical local smoothness when the two indices coincide, which is true for symmetric-alpha-stable, compound Poisson, and symmetric-gamma white noises to name a few. Second, we express the critical asymptotic growth rate in terms of the moment properties of the Lévy white noise. Previous analyses only provided lower bounds for both the local smoothness and the asymptotic growth rate. Showing the sharpness of these bounds requires us to determine in which Besov spaces a given Lévy white noise is (almost surely) not. Our methods are based on the wavelet-domain characterization of Besov spaces and precise moment estimates for the wavelet coefficients of the Lévy white noise.

연구 동기 및 목표

• 레비 화이트 노이즈의 정확한 국소적 부드러움과 가중 베소프 공간에서의 점점 증가하는 성장률을 가중 베소프 공간에서 규명한다.
• 기존의 하한 경계와 정확한 특성화 사이의 격차를 메우기 위해 기존 경계의 날카움을 증명한다.
• 정규성 분석에 필수적인 레비 화이트 노이즈의 웨이블릿 계수에 대한 새로운 모멘트 추정치를 개발한다.
• 과정이 거의 확실히 소속되지 않는 임계 베소프 매개변수 (τp, ρp)를 규명함으로써 날카움을 확립한다.
• 가우시안 및 안정 확률과정을 초월하여 레비 화이트 노이즈에 대한 웨이블릿 기반 정규성 분석을 확장한다.

제안 방법

• 가중 베소프 공간의 웨이블릿 특성화를 활용하여 레비 화이트 노이즈의 정규성을 분석한다.
• 특성 지수와 블룸נטל-기투어 지수를 기반으로 웨이블릿 계수에 대한 새로운 모멘트 추정치를 유도한다.
• 웨이블릿 도메인 표현을 적용하여 스케일 j에서의 웨이블릿 계수의 Lp 노름에 대한 상한과 하한을 유도한다.
• 모멘트 행동을 캡처하고 정규성 추정치를 개선하기 위해 새로운 지수 β∞ 및 β̄∞를 도입한다.
• 베소프 공간에의 포함성(긍정적 결과)과 임계 매개변수에서의 비포함성(부정적 결과)을 조합하여 날카움을 규명한다.
• 웨이블릿 전개를 활용하여 일반화된 함수를 그 계수들로 표현하고, 감쇠 및 증가율을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중 베소프 공간 Bpτ(Rd;ρ)에서 레비 화이트 노이즈의 정확한 임계 국소적 부드러움 τp(w)는 무엇인가?
• RQ2 가중 베소프 공간 Bpτ(Rd;ρ)에서 레비 화이트 노이즈의 임계 점점 증가하는 성장률 ρp(w)는 무엇인가?
• RQ3 이전에 알려진 국소적 부드러움과 성장률에 대한 하한 경계의 날카움을 웨이블릿 방법을 사용하여 증명할 수 있는가?
• RQ4 블룸נטל-기투어 지수 β̄∞ 및 β∞는 임계 베소프 매개변수 τp(w) 및 ρp(w)와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 레비 화이트 노이즈가 임계 매개변수 τ=τp(w) 또는 ρ=ρp(w)에서 베소프 공간에 거의 확실히 포함되지 않는가?

주요 결과

• 임계 국소적 부드러움 τp(w)는 β̄∞ = β∞일 때 min{1/p, β̄∞}로 특성화되며, 이는 대칭 α-스테이블, 복합 포아송, 대칭 감마 화이트 노이즈에서 성립한다.
• 일반적인 레비 화이트 노이즈에 대해서는 국소적 부드러움이 β̄∞ ≤ τp(w) ≤ min{1/p, β∞}를 만족하며, β̄∞ = β∞일 때 등호가 성립한다.
• 임계 점점 증가하는 성장률 ρp(w)는 p ≤ β∞일 때 min{−d/p, −d/β∞}로 결정되며, 이는 이전의 하한 경계를 향상시킨다.
• 논문은 τ = τp(w) 또는 ρ = ρp(w)일 때 w ∉ Bpτ(Rd;ρ)일 거의 확실히 참임을 증명하여 경계의 날카움을 확인한다.
• 복합 포아송 및 유한 모멘트를 가진 레비 화이트 노이즈의 경우, 임계 매개변수에서의 비포함성은 엄밀하게 증명된다.
• 결과는 모든 p ∈ (0, ∞]에 대해 확장되며, 공식은 p > 2일 경우에도 성립할 것이라 추측되나, 현재 증명은 p < 2로 국한되어 있다.