[논문 리뷰] Wavelets and spectral triples for higher-rank graphs

Carla Farsi, Elizabeth Gillaspy외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 19.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 33인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정적 $k$-Bratteli 다이어그램에서 유도된 초거친 Cantor 집합을 이용해 고차수 그래프에 대한 웨이블릿 분해와 스펙트럴 트리플 간의 깊은 연결 고리를 설정한다. 초거친 Cantor 집합에서 유도된 두 개의 새로운 스펙트럴 트리플을 구성하고, 라플라스-베르트라미 연산자 및 딜라크 연산자의 고유공간이 무한 경로 공간의 웨이블릿 분해와 정확히 일치함을 증명한다. 이에 해당하는 측도는 스케일링된 하우스도르프 측도이다.

ABSTRACT

In this paper, we present two new ways to associate a spectral triple to a higher-rank graph $Λ$. Moreover, we prove that these spectral triples are intimately connected to the wavelet decomposition of the infinite path space of $Λ$ which was introduced by Farsi, Gillaspy, Kang, and Packer in 2015. We first introduce the concept of stationary $k$-Bratteli diagrams, to associate a family of ultrametric Cantor sets to a finite, strongly connected higher-rank graph $Λ$. Then we show that under mild hypotheses, the Pearson-Bellissard spectral triples of such Cantor sets have a regular $ζ$-function, whose abscissa of convergence agrees with the Hausdorff dimension of the Cantor set, and that the measure $μ$ induced by the associated Dixmier trace agrees with the measure $M$ on the infinite path space $Λ^\infty$ of $Λ$ which was introduced by an Huef, Laca, Raeburn, and Sims. Furthermore, we prove that $μ= M$ is a rescaled version of the Hausdorff measure of the ultrametric Cantor set. From work of Julien and Savinien, we know that for $ζ$-regular Pearson-Bellissard spectral triples, the eigenspaces of the associated Laplace-Beltrami operator constitute an orthogonal decomposition of $L^2(Λ^\infty, μ)$; we show that this orthogonal decomposition refines the wavelet decomposition of Farsi et al. In addition, we generalize a spectral triple of Consani and Marcolli from Cuntz-Krieger algebras to higher-rank graph $C^*$-algebras, and prove that the wavelet decomposition of Farsi et al.~describes the eigenspaces of its Dirac operator.

연구 동기 및 목표

• 정적 $k$-Bratteli 다이어그램에서 유도된 초거친 Cantor 집합을 이용해 고차수 그래프에 스펙트럴 트리플을 연관시키는 것.
• Pearson-Bellissard 스펙트럴 트리플의 $\zeta$-함수의 수렴의 횡좌표가 Cantor 집합의 하우스도르프 차원과 일치함을 보이는 것.
• 스펙트럴 트리플의 딜라크 트레이스 측도가 an Huef 등이 도입한 무한 경로 공간 $\Lambda^\infty$ 상의 측도 $M$과 일치함을 증명하는 것.
• 라플라스-베르트라미 연산자의 고유공간이 Farsi 등이 제시한 웨이블릿 분해를 정밀화함을 보여주는 것.
• 컨사니-마콜리 스펙트럴 트리플을 고차수 그래프 $C^*$-대수로 일반화하고, 그 고유공간이 웨이블릿 분해와 정확히 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 유한하고 강하게 연결된 고차수 그래프 $\Lambda$에서 정적 $k$-Bratteli 다이어그램을 구성하는 것.
• $k$-Bratteli 다이어그램의 구조를 이용해 무한 경로 공간 $\Lambda^\infty$ 상에 초거친 Cantor 집합 $X_{\mathcal{B}}$를 정의하는 것.
• 이러한 초거친 Cantor 집합에 Pearson-Bellissard 스펙트럴 트리플을 적용하고, 그들의 $\zeta$-함수와 딜라크 트레이스를 분석하는 것.
• 그리고 $\zeta$-함수의 수렴의 횡좌표가 Cantor 집합의 하우스도르프 차원과 일치함을 증명하는 것.
• 딜라크 트레이스에 의해 유도된 측도 $\mu$가 하우스도르프 측도의 스케일링을 통해 $\Lambda^\infty$ 상의 측도 $M$과 일치함을 보이는 것.
• Julien과 Savinien의 이론을 활용하여 $L^2(\Lambda^\infty, \mu)$ 상에서 라플라스-베르트라미 연산자의 고유공간과 웨이블릿 분해 간의 관계를 규명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 초거친 Cantor 집합을 이용해 고차수 그래프에서 스펙트럴 트리플을 구성할 수 있는가?
• RQ2 Pearson-Bellissard 스펙트럴 트리플의 $\zeta$-함수와 관련된 Cantor 집합의 하우스도르프 차원 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 스펙트럴 트리플의 딜라크 트레이스 측도가 무한 경로 공간 $\Lambda^\infty$ 상의 측도 $M$과 일치하는가?
• RQ4 라플라스-베르트라미 연산자의 고유공간은 $L^2(\Lambda^\infty, \mu)$ 상의 웨이블릿 분해와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 컨사니-마콜리 스펙트럴 트리플을 Cuntz-Krieger 대수에서 고차수 그래프 $C^*$-대수로 일반화할 수 있으며, 그 고유공간은 웨이블릿 분해와 일치하는가?

주요 결과

• 초거친 Cantor 집합 상의 Pearson-Bellissard 스펙트럴 트리플의 $\zeta$-함수는 그 집합의 하우스도르프 차원과 일치하는 수렴의 횡좌표를 가진다.
• 스펙트럴 트리플의 딜라크 트레이스에 의해 유도된 측도 $\mu$는 an Huef, Laca, Raeburn, 그리고 Sims가 도입한 $\Lambda^\infty$ 상의 측도 $M$과 정확히 일치한다.
• $\mu = M$은 초거친 Cantor 집합 상의 하우스도르프 측도의 스케일링된 형태이다.
• 라플라스-베르트라미 연산자의 고유공간은 $L^2(\Lambda^\infty, \mu)$의 정규직교 분해를 이루며, Farsi 등이 제시한 웨이블릿 분해를 정밀화한다.
• 고차수 그래프에 대한 일반화된 컨사니-마콜리 스펙트럴 트리플의 고유공간은 정확히 웨이블릿 분해 $\mathscr{V}_0 \oplus \bigoplus_{q=0}^\infty \mathcal{W}_q$와 일치한다.
• 디라크 연산자의 고유공간은 웨이블릿 부분공간 $\mathcal{W}_q = \mathcal{R}_{q+1} \cap \mathcal{R}_q^\perp$ 및 $\mathscr{V}_0 = \mathcal{R}_0 \oplus \mathcal{R}_{-1}$과 동형이다.