[논문 리뷰] Wavelets with the Translation Invariance Property of Order N

S. Schäffer, Eric Weber|ArXiv.org|2000. 02. 15.

Image and Signal Denoising Methods참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 순서 $ n $ 의 새로운 이동 불변성 성질을 갖는 웨이브릿을 도입하고 구성한다. 여기서 일반화된 다중해상 분석(GMRA) 부분공간 $ V_j $ 는 $ j \geq n $ 일 때에만 정수 이동에 대해 불변이다. 저자들은 주파수 도메인에서 웨이브릿 집합의 보간을 사용하여 임의의 확대 인자 $ d \geq 2 $ 에 대해 이러한 웨이브릿의 존재를 증명하고, 이들이 중첩되며 닫히지 않은 집합 $ \mathcal{M}_n $ 을 이룬다는 것을 보여주며, MSF 웨이브릿을 일반화한다.

ABSTRACT

All wavelets can be associated to a multiresolution like structure, i.e. an incr easing sequence of subspaces of L^2(R). We consider the interaction of a wavel et and the translation operator in terms of which of the subspaces in this multi resolution like structure are invariant under the translation operator. This ac tion defines the notion of the translation invariance property of order n. In this paper we show that wavelets of all levels of translation invariance exist, first for the classic case of dilation by 2, and then for arbitrary integral di lation factors.

연구 동기 및 목표

• 순서 $ n $ 의 이동 불변성을 갖는 웨이브릿을 정의하고 특성화하는 것. 여기서는 $ j \geq n $ 인 경우에만 부분공간 $ V_j $ 가 정수 이동에 대해 불변이다.
• 모든 $ j \in \mathbb{Z} $ 에서 불변성을 갖는 MSF 웨이브릿을 초월하여, 불변성 수준의 계층을 도입함으로써 이동 불변성 개념을 일반화하는 것.
• 임의의 정수 확대 인자 $ d \geq 2 $ 에 대해 이러한 웨이브릿의 존재를 보여주며, 이는 이전의 $ d=2 $ 에 대한 결과를 일반화하는 것이다.
• 집합 $ \mathcal{L}_n $ 과 $ \mathcal{M}_n $ 의 위상적 구조를 분석하여, $ \mathcal{L}_n $ 은 상대적으로 닫혀 있는 반면 $ \mathcal{M}_n $ 은 그렇지 않음을 보여주는 것.

제안 방법

• $ V_{-n} $ 이 $ T^{m/d^n} $ 에 대해 불변임을 통해 순서 $ n $ 의 이동 불변성 성질을 정의하고, 이를 $ W_0 $ 이 동일한 연산자에 대해 불변임과 연결한다.
• 웨이브릿을 $ \hat{\psi} $ 의 지지집합을 통해 푸리에 변환을 이용해 특성화하며, $ 2\pi/d^n $ 에 의한 이동에 대해 부분적으로 자기유사적인 집합에 초점을 맞춘다.
• 웨이브릿 집합 $ W $ 와 $ W_n $ 의 보간 쌍을 통해 웨이브릿을 구성하며, $ W_n \to W $ 가 대칭 차집합에서 수렴하도록 하여 $ L^2 $ 수렴을 보장한다.
• Merrill의 정리를 적용하여, 결과적으로 얻어진 일반화된 스케일링 집합 $ E_n $ 이 웨이브릿을 생성하기 위한 필요 조건을 만족함을 검증한다.
• measure 이론적 접근을 통해 $ L^2 $ 수렴과 푸리에 변환의 균일한 유계성을 활용하여 $ \mathcal{L}_j $ 가 극한에 대해 닫혀 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ n \in \mathbb{N} $ 에 대해, GMRA 부분공간 $ V_j $ 가 정수 이동에 대해 불변인 것은 $ j \geq n $ 일 때 뿐인 웨이브릿이 존재하는가?
• RQ2 이러한 웨이브릿은 $ d=2 $ 뿐 아니라 임의의 정수 확대 인자 $ d \geq 2 $ 에 대해 구성 가능한가?
• RQ3 $ L^2 $ 위상에서 순서 $ n $ 의 이동 불변성을 갖는 웨이브릿 집합 $ \mathcal{M}_n $ 이 닫혀 있는가?
• RQ4 이러한 웨이브릿은 $ \mathcal{M}_\infty $ 에 해당하는 MSF 웨이브릿과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 양의 정수 $ n $ 과 임의의 정수 확대 인자 $ d \geq 2 $ 에 대해 순서 $ n $ 의 이동 불변성을 갖는 웨이브릿이 존재한다. 즉, $ \mathcal{M}_n \neq \emptyset $ 이다.
• $ V_{-n} $ 가 이동 불변인 웨이브릿으로 이루어진 집합 $ \mathcal{L}_n $ 은 $ L^2 $ 노름에서 상대적으로 닫혀 있다.
• $ \mathcal{L}_n \setminus \mathcal{L}_{n+1} $ 로 정의되는 집합 $ \mathcal{M}_n $ 은 닫혀 있지 않다. 이는 $ \mathcal{M}_1 $ 에 속한 수열이 $ \mathcal{M}_\infty $ 에 속한 MSF 웨이브릿으로 수렴함으로써 증명된다.
• 높은 차수의 이동 불변성을 갖는 웨이브릿은 주파수 도메인에서 웨이브릿 집합의 보간을 통해 구성할 수 있으며, 이는 수렴하는 일반화된 스케일링 집합 $ E_n $ 의 수열을 사용한다.
• 이 구성은 $ 2\pi/d^n $ 에 의한 이동에 대해 부분적으로 자기유사적인 주파수 도메인 집합에 의존하며, 이는 $ W_0 $ 에서 요구되는 불변성을 보장한다.