[논문 리뷰] Weak amenability of CAT(0) cubical groups

Nigel Higson, Erik Guentner|ArXiv.org|2007. 02. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한 차원 CAT(0) 큐브 복합체 위에서 거리적으로 적절하게 작용하는 모든 이산 군이 Cowling-Haagerup 상수가 1인 약한 아메니타리함성을 가짐을 증명한다. 저자들은 힐베르트 공간 위에 정의된 균일하게 유계인 헬름홀로픽 표현의 가중치를 가지며, 행렬 계수가 $ z^{ au(g)} $ 형태인 표현을 구성한다. 여기서 $ \tau $ 는 군 위의 조합적 길이 함수이다. 이를 통해 바에테의 기준을 이용하여 약한 아메니타리함성을 확립한다.

ABSTRACT

We prove that if G is a discrete group that admits a metrically proper action on a finite-dimensional CAT(0) cube complex X, then G is weakly amenable. We do this by constructing uniformly bounded Hilbert space representations for which the quantities z^{l(g)} are matrix coefficients. Here l is a length function on G obtained from the combinatorial distance function on the complex X.

연구 동기 및 목표

• 유한 차원 CAT(0) 큐브 복합체 위에서 적절하게 작용하는 군에 대한 약한 아메니타리함성을 확립하기 위해.
• Cowling의 추측, 즉 모든 Haagerup 성질을 갖는 군이 Cowling-Haagerup 상수가 1인 약한 아메니타리함성을 가짐을 뒷받침하기 위해.
• 이전에 알려진 케이스들인 코x터 군과 $SO(n,1)$, $SU(n,1)$ 위의 격자 이외의 군들로 약한 아메니타리함성의 범위를 확장하기 위해.

제안 방법

• 열린 단위 원판 $ \mathbb{D} $ 에 따라 인덱싱된 힐베르트 공간 $ \mathcal{H} $ 상에서 균일하게 유계인 표현 $ \pi_z $ 의 헬름홀로픽 가중치를 구성하여, $ 0 < t < 1 $ 일 때 $ \pi_t $ 는 유니터리가 되도록 한다.
• 군 $ G $ 위에 $ X $ 인 CAT(0) 큐브 복합체에서의 조합적 거리 함수를 이용해 길이 함수 $ \ell(g) $ 를 정의하며, $ \ell(e) = 0 $ 이다.
• Pimsner와 Valette의 방법을 활용하여 $ \ell^2(X) $ 위의 코사이클 구성법을 이용해 표현 $ \pi_z $ 를 정의한다.
• 고정된 벡터 $ \xi \in \mathcal{H} $ 에 대해 행렬 계수 $ \langle \pi_z(g)\xi, \xi \rangle = z^{\ell(g)} $ 임을 보여, 군의 기하학적 성질과 $ \mathbb{D} $ 위의 해석함수 간의 연결 고리를 확립한다.
• 바에테의 정리를 적용하여, 이러한 헬름홀로픽 가중치 가족이 Cowling-Haagerup 상수가 1인 약한 아메니타리함성으로 이어짐을 보인다.
• 표현의 행렬 계수 성장률을 제어하기 위해, 두 정점 $ x $ 와 $ y $ 를 분리하는 초평면과 주어진 초평면 $ H $ 가 교차하는 초평면의 수가 $ (r+1)^d $ 이하로 유계임을 증명한다. 여기서 $ r $ 은 $ x $ 와 $ y $ 사이의 거리이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 CAT(0) 큐브 복합체 군은 Cowling-Haagerup 상수가 1인 약한 아메니타리함성을 가질까?
• RQ2 CAT(0) 큐브 복합체의 기하학적 성질로부터 균일하게 유계인 표현의 헬름홀로픽 가중치를 구성할 수 있을까?
• RQ3 행렬 계수가 $ z^{\ell(g)} $ 형태인 표현이 바에테의 기준을 통해 약한 아메니타리함성을 유도할 수 있을까?
• RQ4 큐브 복합체의 조합적 구조는 표현의 행렬 계수 성장률을 어떻게 제어할까?
• RQ5 CAT(0) 큐브 복합체 군은 아메니타리함성 성질 측면에서 Haagerup 성질을 갖는 보다 광범위한 군의 클래스와 얼마나 유사한가?

주요 결과

• 유한 차원 CAT(0) 큐브 복합체 위에서 거리적으로 적절하게 작용하는 모든 이산 군 $ G $ 는 Cowling-Haagerup 상수가 1인 약한 아메니타리함성을 가진다.
• 증명은 균일하게 유계인 표현 $ \pi_z $ 의 헬름홀로픽 가중치를 구성하는 데 기반하며, 이때 $ \langle \pi_z(g)\xi, \xi \rangle = z^{\ell(g)} $ 이다. 여기서 $ \ell(g) $ 는 조합적 길이 함수이다.
• 이 구성은 $ X $ 가 CAT(0) 큐브 복합체일 때 $ \ell^2(X) $ 위의 코사이클을 이용하며, Pimsner와 Valette의 방법을 활용한다.
• 두 정점 $ x $ 와 $ y $ 를 분리하고 주어진 초평면 $ H $ 와 교차하는 초평면의 수는 $ (r+1)^d $ 이하로 유계이며, 여기서 $ r = d(x,y) $ 이고 $ d $ 는 복합체의 차원이다.
• 이 결과는 모든 Haagerup 성질을 갖는 군이 Cowling-Haagerup 상수가 1인 약한 아메니타리함성을 가짐을 뒷받침하는 Cowling의 추측을 CAT(0) 큐브 복합체 군의 클래스로 확장한다.
• 이 정리는 무한 차원 CAT(0) 큐브 복합체에는 적용되지 않으며, 이는 Thompson의 군 $ F $ 와 같이 이러한 복합체 위에서 적절하게 작용하는 군들의 약한 아메니타리함성 여부를 여전히 열려 있는 문제로 남긴다.