[논문 리뷰] Weak amenability of Fourier algebras and local synthesis of the anti-diagonal

Hun Hee Lee, Jean Ludwig외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 18.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 47인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 연결 리군 $G$의 푸리에 대수 $A(G)$가 약한 아미너블일 조건을 규명한다. 즉, $A(G)$가 약한 아미너블이 되기 위해서는 $G$가 아벨이어야 하며, 이는 $A(G \times G)$에서의 반대대각선 $\check{\Delta}_G = \{(g,g^{-1}) : g \in G\}$의 국소 합성성과 연관된다. 비아벨인 연결 리군의 경우 이 조건을 만족하지 못하므로, $A(G)$의 약한 아미너블성은 정확히 항등원 성분 $G_e$가 아벨임으로써 특징지어진다. 이 결과는 이전의 컴팩트군 및 측정가능군에 대한 연구를 일반화한다.

ABSTRACT

We show that for a connected Lie group $G$, its Fourier algebra $A(G)$ is weakly amenable only if $G$ is abelian. Our main new idea is to show that weak amenability of $A(G)$ implies that the anti-diagonal, $\\check{\\Delta}_G=\\{(g,g^{-1}):g\\in G\\}$, is a set of local synthesis for $A(G\ imes G)$. We then show that this cannot happen if $G$ is non-abelian. We conclude for a locally compact group $G$, that $A(G)$ can be weakly amenable only if it contains no closed connected non-abelian Lie subgroups. In particular, for a Lie group $G$, $A(G)$ is weakly amenable if and only if its connected component of the identity $G_e$ is abelian.

연구 동기 및 목표

• 지역적으로 컴 pact한 군 $G$의 푸리에 대수 $A(G)$가 약한 아미너블이 되는 정확한 조건을 규명하는 것.
• 약한 아미너블성 $A(G)$가 항등원 성분 $G_e$가 아벨임을 의미하는지에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 이전의 비아벨 군(예: $\mathrm{SU}(2)$, 하이젠베르크 군)에 대한 결과를 일반화하여 스펙트럼 합성성 성질에 기반한 일반 기준을 수립하는 것.
• 약한 아미너블성 $A(G)$와 $A(G \times G)$에서 반대대각선 $\check{\Delta}_G$의 국소 합성성 간의 연결 고리를 제공함으로써, 바나흐 대수 코hom로지와 조화 분석 간의 새로운 구조적 연결 고리를 마련하는 것.

제안 방법

• 약한 아미너블성 $A(G)$와 $A(G \times G)$에서 반대대각선 $\check{\Delta}_G$의 국소 합성성 간의 새로운 연결 고리를 수립하는 것.
• 약한 아미너블성 $A(G)$가 $A(G \times G)$에서 $\check{\Delta}_G$가 국소 합성 집합임을 의미함을, 코homological duality와 모듈 구조 분석을 통해 증명하는 것.
• 기존의 스펙트럼 합성성 결과를 적용: 비아벨인 연결 리군(예: $\mathrm{SU}(2)$, $\mathbb{H}^r$, $E$)의 경우 반대대각선이 국소 합성 집합이 아님을 보이는 것.
• 폐쇄된 부분군에 대한 푸리에 대수의 제한 정리 적용: 만약 $A(G)$가 약한 아미너블이라면, 임의의 폐쇄된 연결 리군 부분군 $H \leq G$에 대해서도 $A(H)$가 약한 아미너블이 되며, 따라서 $H$는 아벨이어야 한다는 점을 보이는 것.
• 약한 아미너블 바나흐 대수의 몫이 여전히 약한 아미너블임을 이용하여, $G$ 내에 비아벨 리 부분군이 존재하지 않음을 배제하는 것.
• 리 대수와 폐쇄된 부분군의 구조(예: 군 $\overline{E} = \mathbb{C} \rtimes \mathbb{R}^{ap}$)를 활용하여, 일부 비아벨 군이 비아벨 폐쇄된 연결 리 부분군을 포함하지 않지만, 그 푸리에 대수의 약한 아미너블성은 여전히 미분류되어 있음을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지역적으로 컴 pact한 군 $G$에 대해 $A(G)$의 약한 아미너블성이 그 항등원 성분 $G_e$가 아벨임을 의미하는가?
• RQ2 항등원 성분이 아닐지라도 $A(G)$가 약한 아미너블이라면, 반대대각선 $\check{\Delta}_G = \{(g,g^{-1}) : g \in G\}$가 $A(G \times G)$에서 국소 합성 집합이 되는가?
• RQ3 비아벨 리군의 경우 $A(G \times G)$에서 $\check{\Delta}_G$의 국소 합성성 실패가 $A(G)$의 약한 아미너블성에 장애가 되는가?
• RQ4 비아벨 폐쇄된 연결 리 부분군을 포함하지 않는 군 $G$에 대해서도 $A(G)$가 여전히 약한 아미너블일 수 있는가?
• RQ5 약한 아미너블성 $A(G)$와 $A(G \times G)$에서 반대대각선의 스펙트럼 합성성 성질 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 연결 리군 $G$에 대해, 푸리에 대수 $A(G)$는 $G$가 아벨일 때에만 약한 아미너블이다.
• 약한 아미너블성 $A(G)$는 $A(G \times G)$에서 반대대각선 $\check{\Delta}_G$가 국소 합성 집합임을 의미하며, 이 조건은 모든 비아벨 연결 리군에서 실패한다.
• $G$가 $\mathrm{SU}(2)$, 유클리드 운동군 $E$, 하이젠베르크 군 $\mathbb{H}^r$, 또는 그 몫일 경우, 반대대각선 $\check{\Delta}_G$는 $A(G \times G)$에서 국소 합성 집합이 아니다.
• 임의의 국소적으로 컴 pact한 군 $G$에 대해, 만약 $A(G)$가 약한 아미너블이라면, $G$의 모든 폐쇄된 연결 리 부분군은 아벨이어야 한다.
• $\overline{E} = \mathbb{C} \rtimes \mathbb{R}^{ap}$는 비아벨인 가환하지 않는 연결 군이며, 비아벨 폐쇄된 연결 리 부분군을 포함하지 않지만, $A(\overline{E})$의 약한 아미너블성은 여전히 미분류되어 있다.
• 이 결과는 $A(G)$가 약한 아미너블이 되기 위해서는 $G_e$가 아벨이어야 한다는 추측을 해결하며, 모든 국소적으로 컴 pact한 군에 대해 이를 확인한다.