[논문 리뷰] Weak and strong error analysis for mean-field rank based particle approximations of one dimensional viscous scalar conservation law

Oumaima Bencheikh, Benjamin Jourdain|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 24.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 24인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 비연속적인 이동 계수를 가진 1차원 점성 스칼라 보존법칙을 근사하기 위한 평균장 기반 순위 기반 입자 시스템에 대해 최적의 수렴 속도를 확립한다. 순위 기반 상호작용를 갖는 상호작용 입자의 오일러 이산화를 분석함으로써, 저자들은 $L^1$-노름에서 $O(1/N + h)$의 약한 오차 한계를 증명하며, 최적의 입자 초기화 및 시간 간격 제어를 통한 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 추정치를 확인한다.

ABSTRACT

In this paper, we analyse the rate of convergence of a system of $N$ interacting particles with mean-field rank based interaction in the drift coefficient and constant diffusion coefficient. We first adapt arguments by Kolli and Shkolnikhov to check trajectorial propagation of chaos with optimal rate $N^{-1/2}$ to the associated stochastic differential equations nonlinear in the sense of McKean. We next relax the assumptions needed by Bossy to check convergence in $L^1(\mathbb{R})$ with rate ${\mathcal O}(\frac{1}{\sqrt N} + h)$ of the empirical cumulative distribution function of the Euler discretization with step $h$ of the particle system to the solution of a one dimensional viscous scalar conservation law. Last, we prove that the bias of this stochastic particle method behaves in ${\mathcal O}(\frac{1}{N} + h)$. We provide numerical results which confirm our theoretical estimates.

연구 동기 및 목표

• 1차원 점성 스칼라 보존법칙의 해를 근사하기 위한 평균장 기반 순위 기반 입자 시스템의 수렴 속도를 분석하는 것.
• 기존의 약한 오차 결과를 순위 기반 상호작용를 통해 누적분포함수에 의존하는 비연속적인 이동 계수를 갖는 시스템으로 확장하는 것.
• 오일러 이산화의 편향이 $O(1/N + h)$로 행동함을 입증하는 것. 여기서 $N$은 입자 수이고 $h$는 시간 간격이다.
• 이론적 오차 한계를 수치적으로 검증하여 입자 수에 대한 $O(1/N)$ 의존성과 시간 간격에 대한 $O(h)$ 의존성을 입증하는 것.

제안 방법

• Kolli와 Shkolnikhov의 논증을 응용하여, 순위 기반 상호작용를 갖는 McKean 유형의 SDE에 대해 $N^{-1/2}$ 속도로 경로별 혼돈의 전파를 증명한다.
• Bossy(2000)의 가정을 완화하여, 오일러 이산화된 입자 시스템의 경험적 누적분포함수가 점성 보존법칙의 해로 $O(1/√{N} + h)$ 속도로 $L^1$ 수렴함을 증명한다.
• 적분 가능성 조건 하에서 확률적 Fubini 정리를 사용하여 확률적 적분과 르베그 적분의 순서를 바꾼다.
• Girsanov 정리를 적용하여 해의 법칙이 밀도를 갖는다는 것을 보이고, SDE를 Fokker-Planck 방정식과 연결한다.
• 약한 오차 분석에서 오차 항을 제어하기 위해 열핵 $G_t(x)$의 공간 도함수에 대한 추정을 도출한다.
• 이andom 및 최적의 결정론적 초기화를 사용한 수치 실험을 구현하여 이론적 오차 속도를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연속적인 이동 계수를 갖는 점성 스칼라 보존법칙을 근사하기 위한 평균장 기반 순위 기반 입자 시스템의 오일러 이산화의 약한 오차 속도는 무엇인가?
• RQ2 매끄러운 이동 계수에 대해 알려진 $O(1/N + h)$ 약한 오차 한계는 비연속적인 순위 기반 이동 계수를 갖는 시스템으로도 확장되는가?
• RQ3 입자 초기 구성을 (i.i.d. 대비 결정론적 최적) 선택할 경우 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 약한 $L^1$-오차의 수치적 행동은 $N$과 $h$에 따라 어떻게 변하고, 이론적 예측과 일치하는가?

주요 결과

• 오일러 이산화된 입자 시스템의 경험 측도와 점성 보존법칙의 진짜 해 사이의 $L^1$-노름에서의 약한 오차는 $O(1/N + h)$로 한정되며, 이는 이론적 속도를 확인한다.
• 수치 결과는 $h$를 고정했을 때 약한 $L^1$-오차가 $N^{-1}$ 비례로 감소함을 확인하며, $N$을 두 배로 늘였을 때 약 2배의 감소 비율을 보인다.
• 고정된 $N$에서 약한 $L^1$-오차는 $h$에 비례하여 감소하며, $h$를 반으로 줄였을 때 약 2배의 감소 비율을 보이며, 이는 $O(h)$ 의존성을 확인한다.
• 다양한 확산 계수에서 오차 행동은 강건하다: $σ^2 = 0.05$, $0.2$, $20$ 에서 모두 $O(1/N + h)$ 가 성립하지만, 더 큰 $σ^2$ 는 $h$-의존성을 분리하기 위해 더 많은 입자가 필요하다.
• $σ^2 = 0.2$ 에서 $N = 100$ 일 때 약한 $L^1$-오차는 약 $0.01018$ 이고, $N = 3200$ 일 때 $0.000383$ 으로 감소하여 $N^{-1}$ 스케일링과 일치한다.
• $h$ 가 $1/2$ 에서 $1/256$ 으로 감소함에 따라 약한 $L^1$-오차는 $0.0795$ 에서 $0.000483$ 으로 감소하며, 일관된 감소 비율이 약 2에 가까워 $O(h)$ 행동을 확인한다.