[논문 리뷰] Weak approximations for Weiner functionals

Ohashi, Alberto|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 36인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 위너 함수수에 대해 마르코프성이나 말리아빈 미분가능성 가정 없이도 약한 근사가 가능한 강건하고 명시적이며 수치적으로 실현 가능한 반마르코프 골격을 구성하는, 위너 공간에서의 새로운 공간-필터링 이산화 기법을 제안한다. 주요 기여는 분수 차수 브라운 운동과 같은 비마르코프 설정에서 클락-오콘 공식과 최적 정지 시간을 실현 가능한 시뮬레이션 방법으로 제공하는 것이다. 이는 일련의 이산적 점프 필터링과 브라운 운동의 제1통과 시간을 통해 달성된다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a simple space-filtration discretization scheme on Wiener space which allows us to study weak decompositions and smooth explicit approximations for a large class of Wiener functionals. We show that any Wiener functional has an underlying robust semimartingale skeleton which under mild conditions converges to it. The discretization is given in terms of discrete-jumping filtrations which allow us to approximate nonsmooth processes by means of a stochastic derivative operator on the Wiener space. As a by-product, we provide a robust semimartingale approximation for weak Dirichlet-type processes. The underlying semimartingale skeleton is intrinsically constructed in such way that all the relevant structure is amenable to a robust numerical scheme. In order to illustrate the results, we provide an easily implementable approximation scheme for the classical Clark–Ocone formula in full generality. Unlike in previous works, our methodology does not assume an underlying Markovian structure and does not require Malliavin weights. We conclude by proposing a method that enables us to compute optimal stopping times for possibly non-Markovian systems arising, for example, from the fractional Brownian motion.

연구 동기 및 목표

• 마르코프성이나 말리아빈 미분가능성 가정 없이도 일반적인 위너 함수수에 대해 일반적이고 명시적이며 수치적으로 실현 가능한 근사 체계를 개발하는 것.
• 브라운 운동의 제1통과 시간을 사용한 공간 및 필터링 기반 이산화를 통해 강건한 반마르코프 골격을 구성하는 것.
• 임의의 제곱-integrable 종료 변수에 적용 가능한 완전히 실현 가능한 클락-오콘 공식 시뮬레이션 방법을 제공하는 것.
• 분수 차수 브라운 운동에 의해 구동되는 진정한 비마르코프 시스템과 같은 최적 정지 문제에 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 브라운 운동의 제1통과 시간을 이용한 정지시간의 수열 $T_n^k = \inf\{t > T_{n-1}^k : |B_t - B_{T_{n-1}^k}| = 2^{-k}\}$ 을 사용한 공간-필터링 이산화를 도입하며, 이는 이산 시간 필터링 $\mathcal{G}_n^k$ 을 유도한다.
• 근사 과정 $\delta^k X_t = X_0 + \sum_{n=1}^\infty \mathbb{E}[X_{T_n^k} \mid \mathcal{G}_n^k] \mathbf{1}_{\{T_n^k \leq t < T_{n+1}^k\}}$ 를 정의하여 강건한 반마르코프 골격을 형성한다.
• 클락-오콘 공식에서 말리아빈 도함수 $\mathbb{E}[D_s Y \mid \mathcal{F}_s]$ 를 명시적인 근사로 사용하기 위해, $\frac{\mathbb{E}[Y \mid \mathcal{G}_n^k] - \mathbb{E}[Y \mid \mathcal{G}_{n-1}^k]}{B_{T_n^k} - B_{T_{n-1}^k}}$ 의 확률적 비율을 사용한다.
• 동적 프로그래밍을 이산화된 필터링 $\mathcal{G}_n^k$ 에 적용하여 $\mathcal{F}$-정지 시간을 계산하며, 최적 정지 시간은 $\delta^k X$ 의 스넬 상한에 대한 역순환을 통해 정의된다.
• 분수 차수 브라운 운동을 표준 브라운 운동으로부터 시뮬레이션하기 위해 볼테라 표현 $A^{k,H}_t = \int_0^t K(t,s) dA^k_s$ 를 사용한다.
• 동적 프로그래밍 단계에서 조건부 기대값을 근사하기 위해 i.i.d. 증분 $(T_n^k - T_{n-1}^k, \sigma_n^k)$ 의 몬테카를로 시뮬레이션을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 위너 함수수에 대해 마르코프성이나 말리아빈 미분가능성 가정 없이도 강건하고 명시적이며 수치적으로 실현 가능한 반마르코프 골격 근사를 구성할 수 있는가?
• RQ2 말리아빈 가중치에 의존하지 않는 방법으로 임의의 $L^2(\mathcal{F}_T)$-확률변수에 대해 클락-오콘 공식을 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ3 분수 차수 브라운 운동에 의해 구동되는 비마르코프 시스템에서, 기저 구조를 유지하는 이산화 체계를 통해 최적 정지 시간을 계산할 수 있는가?
• RQ4 기저 과정이 비마르코프적이며 시간 동질성 마르코프 성질을 갖지 않을 경우, 동적 프로그래밍에서 조건부 기대값을 효율적으로 시뮬레이션하는 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 적당한 조건 하에 $k \to \infty$ 일 때, 제안된 이산화 체계 $\delta^k X$ 는 원래의 위너 함수수 $X$ 를 $B^2$-위상에서 약하게 수렴한다.
• 확률적 비율 $\frac{\mathbb{E}[Y \mid \mathcal{G}_n^k] - \mathbb{E}[Y \mid \mathcal{G}_{n-1}^k]}{B_{T_n^k} - B_{T_{n-1}^k}}$ 는 적절한 위상에서 말리아빈 도함수 $\mathbb{E}[D_s Y \mid \mathcal{F}_s]$ 로 수렴하며, 이는 완전히 실현 가능한 클락-오콘 공식을 가능하게 한다.
• 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 충분히 큰 $k$ 에 대해 $(k,0)$-최적 정지 시간 $\tau^{k,\star}$ 이 존재하며, 원래 문제에 대해 $\varepsilon$-최적이다.
• 동적 프로그래밍 알고리즘은 $\delta^k X$ 와 필터링 $\mathcal{G}_n^k$ 에 기반하여 분수 차수 브라운 운동과 같은 비마르코프 시스템에서 가치 함수와 최적 정지 시간의 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 이 방법은 밀도 가정이나 고급 말리아빈 미적분학을 요구하지 않아, 비연속적이거나 비마르코프적인 함수수의 광범위한 클래스에 적용 가능하다.
• 동적 프로그래밍 단계에서의 조건부 기대값의 수치 근사는 i.i.d. 증분 $(T_n^k - T_{n-1}^k, \sigma_n^k)$ 의 몬테카를로 시뮬레이션과 분수 차수 브라운 운동의 볼테라 표현을 통해 실현 가능하다.