[논문 리뷰] Weak compactness of sublevel sets in complete locally convex spaces

Pedro Pérez-Aros, Lionel Thibaul|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 23.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 완비 국소凸 공간에서 볼록 함수의 하위레벨 집합에 대한 약한 컴팩트성 기준을 설정한다. 만약 $ f - x^* $ 가 열린 매키 토폴로지 집합 $ U \neq \emptyset $ 에 속하는 모든 $ x^* $ 에서 최솟값을 갖는다면, 모든 $ \gamma \in \mathbb{R} $ 와 $ x^* \in U $ 에 대해 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ 는 상대적으로 약하게 컴팩트하다. 이 결과는 바나흐 공간을 초월하여 제임스 유형 컴팩트성 정리의 일반화이며, 쌍대 분석을 통해 에피-포인티드 함수와 인프-컴팩트성 간의 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

In this work we prove that if $X$ is a complete locally convex space and $f:X o \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ is a function such that $f-x^\ast$ attains its minimum for every $x^\ast \in U$, where $U$ is an open set with respect to the Mackey topology in $X^\ast$, then for every $γ\in \mathbb{R}$ and $x^\ast \in U$ the set $\{ x\in X : f(x)- \langle x^\ast , x angle \leq γ\}$ is relatively weakly compact. This result corresponds to an extension of Theorem 2.4 in [J. Saint Raymond, Mediterr. J. Math. 10 (2013), no. 2, 927--940]. Directional James compactness theorems are also derived.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간에서의 제임스 유형 약한 컴팩트성 정리(정리 1.2)를 완비 국소凸 공간으로 확장하는 것.
• 열린 매키 토폴로지 집합 $ U \subseteq X^* $ 에서 $ f - x^* $ 가 최솟값을 갖는다는 조건을 바탕으로 하위레벨 집합 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ 의 약한 컴팩트성 특성화.
• 에피-포인티드 함수와 $ f - x^* $ 가 열린 매키 토폴로지 집합 $ U $ 에서 최솟값을 갖는 변분 성질 간의 관계 명확화.
• 복합해석학과 인프-합성 기법을 활용하여 완비 국소凸 공간에서의 방향적 제임스 컴팩트성 정리 유도.

제안 방법

• 모레-로카펠라르의 부분미분과 그 역을 사용하여 $ f - x^* $ 의 최솟값점과 $ \partial f^*(x^*) $ 의 원소들 간의 관계 설정.
• 매키 토폴로지 $ \tau(X^*, X) $ 를 적용하여 $ f - x^* $ 가 최솟값을 갖는 열린 집합 $ U \subseteq X^* $ 정의.
• 인프-합성과 쌍대 함수를 활용하여 하위레벨 집합의 구조와 그들의 약한 컴팩트성 분석.
• 매키 토폴로지에서 $ f^* $ 가 $ U $ 에서 유한하고 연속적이라는 사실을 이용해 하위레벨 집합의 약한 컴팩트성 유도.
• 방향적 점근선 원뿔과 폴라 집합을 활용하여 이중 공간 기하학적 성질을 바탕으로 약한 컴팩트성 특성화.
• 모어스의 정리 1.2에 대한 보다 간결한 증명 기법을 국소凸 구조에 맞게 복합해석학과 위상적 도구를 활용해 일반화한 증명 기법.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완비 국소凸 공간 $ X $ 에서 정의된 적절한 하향연속 볼록 함수 $ f $ 에 대해, $ U \subseteq X^* $ 가 매키 토폴로지에서 열린 집합일 때, 모든 $ \gamma \in \mathbb{R} $ 와 $ x^* \in U $ 에 대해 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ 가 상대적으로 약하게 컴팩트해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 $ f - x^* $ 가 매키 토폴로지에서 열린 집합 $ U $ 에 속하는 모든 $ x^* $ 에서 최솟값을 갖는다는 가정이 하위레벨 집합의 약한 컴팩트성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 에피-포인티드 함수와 $ f - x^* $ 가 열린 매키 토폴로지 집합에서 최솟값을 갖는 변분 성질 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 복합해석학을 활용하여 완비 국소凸 공간에서의 집합에 대해 방향적 제임스 컴팩트성 정리를 도출할 수 있는가?
• RQ5 매키 토폴로지가 하위레벨 집합의 약한 컴팩트성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가? 이는 바나흐 공간의 경우를 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 만약 $ f - x^* $ 가 매키 토폴로지에서 열린 집합 $ U \subseteq X^* $ 에 속하는 모든 $ x^* $ 에서 최솟값을 갖는다면, 모든 $ \gamma \in \mathbb{R} $ 와 $ x^* \in U $ 에 대해 하위레벨 집합 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ 는 상대적으로 약하게 컴팩트하다.
• 이 결과는 바나흐 공간에서의 정리 1.2(모어스의 제임스 정리 버전)를 완비 국소凸 공간으로 확장하며, 노름 기반 가정을 매키 토폴로지에서의 쌍대 함수 연속성으로 대체함으로써 가능해졌다.
• 에피-포인티드 함수의 집합은 $ f^* $ 가 $ X^* $ 의 열린 집합 $ U \subseteq X^* $ 에서 매키 토폴로지에서 연속인 함수들의 집합과 일치하며, 이 조건은 $ f - x^* $ 가 모든 $ x^* \in U $ 에서 약하게 인프-컴팩트임과 동치이다.
• 하나의 하위레벨 집합 $ \textnormal{lev}_{f - x^*}^{\leq}(\gamma) $ 는 $ f $ 가 아래로 유계가 아니거나 $ \textnormal{dom} f^* \neq X^* $ 일지라도, 최솟값 존재 조건이 열린 매키 집합에서 성립한다면 여전히 상대적으로 약하게 컴팩트하다.
• 비반사 바나흐 공간에서의 노름 함수의 예는 $ \mathcal{E}(B^\circ) \neq \emptyset $ 라는 조건이 필수적임을 보여주며, $ f - x^* $ 가 전역적으로 최솟값을 갖더라도 하위레벨 집합이 약하게 컴팩트하지 않을 수 있음을 시사한다.
• 완비 국소凸 공간 $ X $ 는 모든 유계, 원형, 볼록 집합 $ B \subseteq X $ 에 대해 $ \mathcal{E}(B^\circ) \neq \emptyset $ 를 만족할 때이고, 뿐만 아니라 그 역도 성립하며, 이는 유계 집합의 약한 컴팩트성과 $ f - x^* $ 가 최솟값을 갖는 방향 집합의 비어있지 않음 조건 간의 연결 고리를 제공한다.