[논문 리뷰] Weak Convergence (IIA) - Functional and Random Aspects of the Univariate Extreme Value Theory

Gane Samb Lô, Modou Ngom외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 03.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 독서는 약한 수렴의 프레임워크 내에서 단변량 극값 이론에 대한 종합적인 다루기를 제공하며, 기능적이고 확률론적인 측면에 중점을 둔다. 정규화된 극값의 수렴성과 일반화된 극값 분포 및 통계적 추정에 관한 새로운 기여를 포함하여, 정규화된 변화와 $\pi$-변화 이론을 사용하여 기초 결과를 수립하고, 실선 상의 극값 이론에 대한 대학원 수준의 통합적이고 거의 완전한 과정을 제공한다.

ABSTRACT

The univariate extreme value theory deals with the convergence in type of powers of elements of sequences of cumulative distribution functions on the real line when the power index gets infinite. In terms of convergence of random variables, this amounts to the the weak convergence, in the sense of probability measures weak convergence, of the partial maximas of a sequence of independent and identically distributed random variables. In this monograph, this theory is comprehensively studied in the broad frame of weak convergence of random vectors as exposed in Lo et al.(2016). It has two main parts. The first is devoted to its nice mathematical foundation. Most of the materials of this part is taken from the most essential Loève(1936,177) and Haan (1970), based on the stunning theory of regular, pi or gamma variation. To prepare the statistical applications, a number contributions I made in my PhD and my Doctorate of Sciences are added in the last chapter of the last chapter of that part. Our real concern is to put these materials together with others, among them those of the authors from his PhD dissertations and Science doctorate thesis, in a way to have an almost full coverage of the theory on the real line that may serve as a master course of one semester in our universities. As well, it will help the second part of the monograph. This second part will deal with statistical estimations problems related to extreme values. It addresses various estimation questions and should be considered as the beginning of a survey study to be updated progressively. Research questions are tackled therein. Many results of the author, either unpublished or not sufficiently known, are stated and/or updated therein.

연구 동기 및 목표

• 약한 수렴과 기능적 해석을 사용하여 단변량 극값 이론에 엄밀한 수학적 기초를 마련하기.
• Loève (1936)와 Haan (1970)의 정규화된 변화 및 $\pi$-변화 이론에 기반한 핵심 결과들을 통합하고 확장하기.
• 극값 분석에서의 통계적 추정 문제에 대한 이론적 기초를 마련하기.
• 저자의 박사학위 및 박사학위 과정에서의 원본 기여를 통합하여 체계적이고 접근하기 쉬운 교과서 형태의 자료로 정리하기.
• 통계적 추정에 관한 극값 이론의 점진적 조사 시작하기 — 간과되거나 발표되지 않은 결과 포함

제안 방법

• Lo 등 (2016)에서 체계화된 랜덤 벡터의 약한 수렴 이론을 적용하여 국소 최대값의 수렴을 모델링한다.
• 정규화된 변화와 $\pi$-변화(또는 감마-변화)를 사용하여 정규화된 최대값의 극한 분포를 특성화한다.
• 가측 함수에 대한 함수방정식 — 특히 하멜 유형의 방정식 — 을 사용하여 선형성과 멱법칙 행동을 유도한다.
• 일반화된 극값 분포(GEV)를 동일분포인 랜덤 변수의 정규화된 최대값의 보편적 극한으로 적용한다.
• 함수 $ h(st) = h(s)h(t) $ 또는 $ h(st) = h(s) + h(t) $ 를 만족하는 함수의 특성화를 통해 수렴성의 유형을 도출하고, 멱함수로 이어진다.
• 약한 수렴 증명에서 특성함수를 제어하기 위해 삼각함수 부등식 $ |e^{ia} - 1| \leq 2|a/2|^\delta $ 를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화된 동일분포인 랜덤 변수의 국소 최대값이 세 가지 비퇴화된 극값 분포 중 하나로 약한 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 정규화된 변화와 $\pi$-변화는 극값 이론에서 분포함수의 극한 행동을 어떻게 특성화하는가?
• RQ3 강한 변환 하에서 수렴성의 유형을 유지하는 함수의 구조를 지배하는 기능적 방정식은 무엇인가?
• RQ4 이론적 프레임워크는 어떻게 극값 분석에서의 통계적 추정 문제를 지원하도록 확장될 수 있는가?
• RQ5 저자의 박사학위 연구에서 도출된 새로운 또는 간과된 이론적 결과들은 어떻게 통합적인 극값 이론 교과서에 체계적으로 통합될 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 극값(GEV) 분포는 약한 수렴 하에서 정규화된 동일분포인 랜덤 변수의 최대값의 보편적 극한으로 나타난다.
• 함수 $ h(st) = h(s)h(t) $ 와 가측성 조건을 만족하는 경우, $ h(t) = t^{\log k(e)} $ 로 유도되며, 이는 극값 극한에 필수적인 멱법칙 행동을 보장한다.
• 함수 $ \ell(st) = \ell(s) + \ell(t) $ 를 만족하는 가측 함수의 해는 $ \ell(t) = \ell(e) \log t $ 로 주어지며, 곱셈적 성질과 слож성의 구조를 연결한다.
• 단조성과 국소 유계성 조건 하에서 하멜 방정식의 증명은 $ h(x) = h(1)x $ 를 보여주며, 약한 조건 하에서도 선형성을 확인한다.
• $ \delta \in (0,1] $ 에 대해 $ |e^{ia} - 1| \leq 2|a/2|^\delta $ 를 확립하고, 이는 약한 수렴 증명에서 특성함수 제어에 사용된다.
• 무한한 멱지수에 대한 분포함수의 수렴성의 유형은 해당 최대값의 분포에서의 약한 수렴과 동치이다.