[논문 리뷰] Weak convergence of a fully discrete approximation of a linear stochastic evolution equation with a positive-type memory term

Mihály Kovács, Jacques Printems|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양성형 기억핵을 가진 선형 스토케스틱 볼테라 적분방정식에 대해 완전히 이산화된 유한요소 및 컨볼루션 쿼드레이처 방법의 약한 수렴 속도를 확립한다. 약한 오차는 $ C\ln\left(\frac{T}{h^{2/\rho}+\Delta t}\right)(\Delta t^{\rho\nu}+h^{2\nu}) $로 유계이며, 동일한 노이즈 정규성 조건 하에서 강한 수렴 속도의 약 두 배이며, 기억 영향을 받는 스토케스틱 PDE에서 유리한 약한 수렴 차수 행동을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper we are interested in the numerical approximation of the marginal distributions of the Hilbert space valued solution of a stochastic Volterra equation driven by an additive Gaussian noise. This equation can be written in the abstract Itô form as $$ \dd X(t) + \left (\int_0^t b(t-s) A X(s) \, \dd s ight) \, \dd t = \dd W^{_Q}(t), t\in (0,T]; ~ X(0) =X_0\in H, $$ oindent where $W^Q$ is a $Q$-Wiener process on the Hilbert space $H$ and where the time kernel $b$ is the locally integrable potential $t^{ρ-2}$, $ρ\in (1,2)$, or slightly more general. The operator $A$ is unbounded, linear, self-adjoint, and positive on $H$. Our main assumption concerning the noise term is that $A^{(ν- 1/ρ)/2} Q^{1/2}$ is a Hilbert-Schmidt operator on $H$ for some $ν\in [0,1/ρ]$. The numerical approximation is achieved via a standard continuous finite element method in space (parameter $h$) and an implicit Euler scheme and a Laplace convolution quadrature in time (parameter $Δt=T/N$). %Let $X_h^N$ be the discrete solution at time $T$. Eventually let $φ: H ightarrow \R$ is such that $D^2φ$ is bounded on $H$ but not necessarily bounded and suppose in addition that either its first derivative is bounded on $H$ and $X_0 \in L^1(Ω)$ or $φ= \| \cdot \|^2$ and $X_0 \in L^2(Ω)$. We show that for $φ: H ightarrow \R$ twice continuously differentiable test function with bounded second derivative, $$ | \E φ(X^N_h) - \E φ(X(T)) | \leq C \ln \left(\frac{T}{h^{2/ρ} + Δt} ight) (Δt^{ρν} + h^{2ν}), $$ oindent for any $0\leq ν\leq 1/ρ$. This is essentially twice the rate of strong convergence under the same regularity assumption on the noise.

연구 동기 및 목표

• 양성형 기억항을 가진 선형 스토케스틱 진화방정식에 대해 완전히 이산화된 수치적 방법의 약한 수렴을 분석하는 것.
• 해의 두 번 미분 가능성이 보장되는 시험 함수에 대한 기댓값의 수렴 속도를 확립하는 것.
• 기존의 포물형 및 쌍곡형 SPDE에 대한 약한 수렴 결과를 약한 특이성 기억핵을 가진 방정식으로 확장하는 것.
• 노이즈 정규성 가정 하에 공간(h) 및 시간(Δt) 이산화 매개변수에 따른 수렴의 의존성을 정량화하는 것.
• 비 마르코프 기억을 가진 스토케스틱 볼테라 방정식의 맥락에서 컨볼루션 쿼드레이처 및 유한요소 방법의 사용을 정당화하는 것.

제안 방법

• 메쉬 크기 h를 사용한 연속 유한요소 방법을 공간 이산화에 적용한다.
• 시간에 대해 라플라스 변환 기반 컨볼루션 쿼드레이처와 함께 암시적 오일러 방법을 적용하며, 시간 간격은 Δt이다.
• 수치해는 이산 라플라스 연산자 $ A_h $ 와 정사영 $ P_h $ 를 포함한 준연속 시스템을 통해 기술된다.
• 연산자 이론적 도구, 특히 힐베르트 공간 내에서의 해석함수 및 진화 연산자 유계성 조건을 사용하여 분석한다.
• 핵심 기술 도구는 이중 표현과 트레이스 클래스 추정을 통한 오차의 시간 및 공간 성분으로의 분해이다.
• 분석은 $ A^{(\nu-1/\rho)/2}Q^{1/2} $ 가 힐베르트-슈미트임을 가정하며, 노이즈 정규성과 수렴 속도를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양성형 기억핵을 가진 스토케스틱 볼테라 방정식에 대해 완전히 이산화된 유한요소 및 컨볼루션 쿼드레이처 방법의 약한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 동일한 노이즈 정규성 조건 하에서 약한 수렴 속도는 강한 수렴 속도와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 기억 영향이 있는 경우, 약한 오차는 공간 메쉬 크기 h와 시간 간격 Δt에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 기억 영향을 받는 SPDE에서 약한 수렴 차수는 강한 수렴 차수의 두 배로 보일 수 있는가? 이는 포물형 및 쌍곡형 경우와 일치하는가?
• RQ5 다양한 노이즈 구조(예: 화이트 노이즈, 트레이스 클래스 노이즈)는 약한 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 수치해에 대해 약한 오차는 $ |\mathbf{E}\varphi(X_h^N) - \mathbf{E}\varphi(X(T))| \leq C\ln\left(\frac{T}{h^{2/\rho}+\Delta t}\right)(\Delta t^{\rho\nu}+h^{2\nu}) $ 를 만족하며, 여기서 $ \nu \in [0,1/\rho] $ 이다.
• 약한 수렴 속도는 강한 수렴 속도의 약 두 배이며, 포물형 및 쌍곡형 SPDE에 대한 기존 결과와 일치한다.
• 화이트 노이즈(예: Q=I)의 경우, 시간 방향 수렴 속도는 $ (1 - \rho/2)_- $ 이고, 공간 방향은 $ (2/\rho - 1)_- $ 이며, 기억이 정규성에 미치는 영향을 반영한다.
• Q가 트레이스 클래스일 경우, $ \nu = 1/\rho $ 를 선택하면 시간 방향 수렴 차수는 $ 1_- $, 공간 방향은 $ 2_- $ 가 되며, 유한차원 SPDE의 행동과 일치한다.
• 일반적인 노이즈에 대해 $ A^\kappa Q \in \mathcal{B}(H) $ 이고 $ \mathrm{Tr}(A^{-\alpha}) < \infty $ 라면, 공간 방향 수렴 차수는 $ (2/\rho - 2(\alpha - \kappa))_- $ 이고, 시간 방향은 $ (1 - \rho(\alpha - \kappa))_- $ 이며, 다시 한번 강한 수렴 속도의 두 배이다.
• 로그함수 인자 $ \ln(T/(h^{2/\rho}+\Delta t)) $ 는 연산자 노름의 시간 적분에서 기인하며, 기억핵의 약한 특이성으로 인해 필수적이다.