[논문 리뷰] Weak convergence of empirical copula processes indexed by functions

Dragan Radulović, Marten Wegkamp외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 15.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다변량 유한변동 함수에 대한 새로운 적분-by-부분 공식을 사용하여 단위 초입방체 위의 함수로 색인화된 경험 copula 과정의 약한 수렴성을 확립한다. 이 과정의 약한 수렴성을 보장하는 데 두 가지 상호보완적인 조건—copula의 미세함 또는 색인 함수의 미세함—을 제시한다. 이는 유계 함수 공간에서의 수렴을 보장한다.

ABSTRACT

Weak convergence of the empirical copula process indexed by a class of functions is established. Two scenarios are considered in which either some smoothness of these functions or smoothness of the underlying copula function is required. A novel integration by parts formula for multivariate, right continuous functions of bounded variation, which is perhaps of independent interest, is proved. It is a key ingredient in proving weak convergence of a general empirical process indexed by functions of bounded variation.

연구 동기 및 목표

• 점별 평가에서 함수 색인화된 과정으로 경험 copula 과정을 일반화하기 위해.
• 함수 공간 $\ell^\infty([0,1]^d)$ 내에서 색인화된 과정이 약하게 수렴하는 조건을 규명하기 위해.
• copula가 미분 가능하지 않거나 색인 함수가 부드럽지 않을 경우 약한 수렴성에 대한 문헌의 빈도를 메우기 위해.
• 다변량 오른쪽 연속 함수의 유한변동에 대해 새로운 적분-by-부분 공식을 개발하여, 이는 주요 결과의 핵심이다.

제안 방법

• Lebesgue-Stieltjes 적분과의 호환성을 확보하기 위해, 경험 copula 과정의 càdlàg 형태인 $\bar{\mathbb{C}}_n$을 사용한다.
• 표준 경험 copula 과정을 일반화하기 위해 함수 색인화된 과정 $\bar{\mathbb{Z}}_n(g) = \sqrt{n} \int g \, d(\bar{\mathbb{C}}_n - C)$를 정의한다.
• 다변량 유한변동 함수에 대한 새로운 적분-by-부분 공식을 증명하여 색인화된 과정의 분석을 가능하게 한다.
• 두 가지 상황에서 약한 수렴성을 확립한다: (1) copula $C$의 미세함, (2) 색인 함수 $g$의 미세함.
• 유한변동 함수의 Jordan 분해를 사용하고, Aistleitner & Dick (2014)에서 제시된 대응 관계를 통해 이를 측도와 연결한다.
• Vitali 변동 및 HK 변동 이론을 적용하여 하위차원 프로젝션 상의 측도의 유한성을 검증함으로써 적분이 잘 정의됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $g$로 색인화된 경험 copula 과정이 $\ell^\infty([0,1]^d)$에서 약하게 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 copula $C$가 미분 가능하지 않지만 색인 함수 $g$가 부드럽다면 약한 수렴성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 copula $C$가 부드럽지만 색인 함수 $g$가 미분 가능하지 않다면 약한 수렴성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 다변량 유한변동 함수에 대한 적분-by-부분 공식이 색인화된 과정의 약한 수렴성을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유한변동 함수의 하위차원 프로젝션에 대해 정의된 측도는 어떻게 일관되게 정의될 수 있는가?

주요 결과

• 다변량 오른쪽 연속 유한변동 함수에 대한 새로운 적분-by-부분 공식이 확립되었으며, 이는 별개의 관심사이자 주요 결과의 핵심이다.
• 색인 함수 $g$에 대해 경험 copula 과정 $\bar{\mathbb{Z}}_n(g)$의 약한 수렴성이 두 가지 상호보완적인 조건—copula $C$의 미세함 또는 색인 함수 $g$의 미세함—하에 증명되었다.
• Van der Vaart & Wellner (2007)의 미세한 오류를 수정하였으며, 단순한 연속성 대신 부분 도함수의 균일 등장연속성 조건을 요구한다.
• 동일한 약한 조건 하에서, 과정 $\bar{\mathbb{Z}}_n(g)$가 표준 경험 copula 과정과 渐近적으로 동치임을 보였다. 이는 Segers (2012)의 결과와 일치한다.
• HK 변동이 유한한 함수의 하위차원 프로젝션에 의해 정의된 측도는 유한한 Vitali 변동을 가지므로 잘 정의되어 있다.
• 증명 과정에서 다변량 적분-by-부분 공식의 계수는 인덱스 합이 공집합이 아닐 경우에만 존재하며, 이는 최종 항등식에서 깔끔한 상쇄 구조를 이끌어낸다.