[논문 리뷰] Weak convergence of fully discrete finite element approximations of semilinear hyperbolic SPDE with additive noise

Mihály Kovács, Annika Lang외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 추가 성분이 있는 비선형 확률파동방정식에 대한 완전 이산 유한요소 근사의 약한 수렴 속도를 확립한다. 공간 유한요소와 지수함수의 유리근사법을 사용한 시간 이산화를 통해, 적절한 조건 하에서 약한 수렴 속도가 강한 수렴 속도의 약 두 배임을 증명하며, 다항식으로 유계인 도함수를 갖는 시험함수를 분석하기 위해 말레비안 미적분을 활용한다.

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of the mild solution to a semilinear stochastic wave equation driven by additive noise. For the spatial approximation we consider a standard finite element method and for the temporal approximation, a rational approximation of the exponential function. We first show strong convergence of this approximation in both positive and negative order norms. With the help of Malliavin calculus techniques this result is then used to deduce weak convergence rates for the class of twice continuously differentiable test functions with polynomially bounded derivatives. Under appropriate assumptions on the parameters of the equation, the weak rate is found to be essentially twice the strong rate. This extends earlier work by one of the authors to the semilinear setting. Numerical simulations illustrate the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 추가 성분이 있는 비선형 확률파동방정식에 대한 완전 이산 유한요소 스킴의 약한 수렴을 분석하는 것.
• 기존의 강한 수렴 결과를 비선형 케이스의 약한 수렴 설정으로 확장하는 것.
• 비선형 항과 초기 자료에 대한 정규성 및 매끄러움 조건 하에서 약한 수렴 속도가 강한 수렴 속도의 약 두 배임을 확립하는 것.
• 고도로 복잡한 공간 영역을 갖는 확률파동방정식의 수치 시뮬레이션을 위한 이론적 기반을 제공하는 것.
• 1차원 공간에서의 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증하는 것.

제안 방법

• 스플라인 기반의 선형 또는 이차 기저 함수를 사용한 표준 갈레르킨 유한요소 방법을 공간 이산화에 적용한다.
• 시간 이산화에 지수함수의 유리근사를 사용하여 크랭크-니콜슨 방법을 확률적 석대군으로 일반화한다.
• 부드러운 해를 표현하기 위해 변동상수 공식을 포함한 약한 해 표현식을 사용한다.
• 다항식으로 유계인 도함수를 갖는 시험함수의 도함수 구조를 분석하기 위해 말레비안 미적분 기법을 적용한다.
• 약한 오차를 제어하기 위해 음의 순서 노름을 사용하여 쌍대성 원리를 통해 더 날카로운 경계를 확보한다.
• 비선형 항이 최대 선형 성장과 리프시츠 연속 도함수를 갖는 니미츠키 옵저버로 가정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 성분이 있는 비선형 확률파동방정식에 대한 완전 이산 유한요소 근사의 약한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 비선형 케이스에서 약한 수렴 속도는 강한 수렴 속도와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 비마르코프 성질을 갖는 SPDE에 대해 말레비안 미적분이 약한 수렴 속도 유도에 효과적으로 활용될 수 있는가?
• RQ4 비선형 항과 초기 자료에 대해 어떤 조건에서 약한 수렴 속도가 강한 수렴 속도의 두 배가 되는가?
• RQ5 이론적 수렴 속도는 실용적 설정에서의 수치 실험 결과와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 비선형 항이 충분히 매끄러운 니미츠키 옵저버이고 초기 자료가 매끄럽다면, 약한 수렴 속도는 강한 수렴 속도의 약 두 배이다.
• d = 1, 2일 때 추적-클래스 성분이 있고, d = 1일 때 항등성분 공분산이 있는 경우, 강한 수렴 속도가 O(h^{2/3})이면 약한 수렴 속도는 O(h^{4/3})이다.
• 이론적 결과는 d = 1에서 수치적으로 검증되었으며, 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 약한 오차의 수렴 순서가 O(h^{4/3})이고, 강한 오차의 수렴 순서가 O(h^{2/3})임을 확인하였다.
• 고도로 복잡한 도메인 기하학에서 고유함수 기반 시간 이산화 방법을 적용하기 어려운 경우에도 이 방법은 안정성이 뛰어나다.
• 음의 순서 노름과 말레비안 미적분의 사용은 기존 이토 공식 또는 코르고로프 방정식 접근법보다 더 날카로운 오차 제어를 가능하게 한다.
• 이 분석은 이전 연구보다 略로 더 일반적인 조건 하에서도 성립하며, 특히 유계이면서 리프시츠 연속 도함수를 갖는 니미츠키 옵저버에 대해 성립한다.