[논문 리뷰] Weak convergence of path-dependent SDEs with irregular coefficients

Jianhai Bao, Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Girsanov 변환을 기반으로 한 새로운 변형 접근법을 사용하여, 불규칙한 계수를 가진 경로에 의존하는 SDEs에 대한 Euler-Maruyama 및 절단된 Euler-Maruyama 스킴의 약한 수렴을 확립한다—특히 허더 연속성 또는 적분 가능한 드리프트를 갖는 경우이다. 주요 기여는 최소한의 정규성 가정 하에서 약한 수렴을 증명하는 것으로, 비퇴화 확산 및 기억을 가진 확률적 해밀토니안 시스템으로의 확장이 가능하다.

ABSTRACT

In this paper we develop via Girsanov's transformation a perturbation argument to investigate weak convergence of Euler-Maruyama (EM) scheme for path-dependent SDEs with Hölder continuous drifts. This approach is available to other scenarios, e.g., truncated EM schemes for non-degenerate SDEs with finite memory or infinite memory. Also, such trick can be applied to study weak convergence of truncated EM scheme for a range of stochastic Hamiltonian systems with irregular coefficients and with memory, which are typical degenerate dynamical systems. Moreover, the weak convergence of path-dependent SDEs under integrability condition is investigated by establishing, via the dimension-free Harnack inequality, exponential integrability of irregular drifts w.r.t. the invariant probability measure constructed explicitly in advance.

연구 동기 및 목표

• 불규칙한 계수를 가진 경로에 의존하는 SDEs에서 수치적 스킴의 약한 수렴 결과가 부족한 문제를 다루기 위해.
• Girsanov 변환을 기반으로 한 변형 방법을 개발하여, 허더 연속성 및 적분 가능성 조건 하에서 Euler-Maruyama 스킴의 약한 수렴을 분석하기 위해.
• 비퇴화 SDEs에 대한 유한 또는 무한 기억을 가진 절단된 EM 스킴으로 이 방법을 확장하고, 특이 드리프트 및 기억을 가진 확률적 해밀토니안 시스템으로의 응용을 위해.
• 적분 가능성 조건 하에서 차원에 영향을 받지 않는 Harnack 부등식을 통해 불규칙한 드리프트의 지수적 적분 가능성을 확립하여, 최소한의 가정 하에서 약한 수렴을 보장하기 위해.

제안 방법

• Malliavin 미분이나 다듬어진 Itô 공식에 의존하지 않도록, Girsanov 변환을 이용해 변형 방법을 구성한다.
• 차원에 영향을 받지 않는 Harnack 부등식을 적용하여, 명시적으로 구성된 불변 확률 측도에 대해 불규칙한 드리프트의 지수적 적분 가능성을 도출한다.
• 허더 연속성 하에서 확률적 과정의 성장 추정을 활용하여 해 경로의 행동을 제어한다.
• 비퇴화 SDEs에 대한 유한/무한 기억과 퇴화된 확률적 해밀토니안 시스템에 대해 변형 프레임워크를 절단된 EM 스킴에 적응시킨다.
• 함수 $\text{e}^{\gamma|Z(x)|^2} \wedge n$ 에 대한 Harnack 부등식을 사용하여 모멘트 추정과 적분 가능성을 확보한다.
• 지배 수렴 정리와 테일러 전개를 조합하여 불변 측도의 밀도를 추정하고, 불변 측도의 지지의 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부드러운 계수를 요구하지 않고, 허더 연속성 드리프트를 가진 경로에 의존하는 SDEs에 대해 Euler-Maruyama 스킴의 약한 수렴을 확립할 수 있는가?
• RQ2 Girsanov 기반 변형 방법은 유한 또는 무한 기억을 가진 SDEs에 대한 절단된 EM 스킴으로 확장 가능한가?
• RQ3 이 방법을 사용하여 특이 드리프트 및 기억을 가진 확률적 해밀토니안 시스템의 약한 수렴 차수를 유도할 수 있는가?
• RQ4 드리프트에 대한 어떤 적분 가능성 조건 하에서 Harnack 부등식을 통해 지수적 적분 가능성을 확립할 수 있으며, 이는 약한 수렴을 보장하는가?
• RQ5 경로에 의존하는 SDEs의 약한 수렴 분석에서 $C_b^\infty$ 계수나 부드러운 지ay 함수를 강요하는 강한 가정을 피할 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 시간 이산화 하에서, 비퇴화 경로에 의존하는 SDEs에 대해 허더 연속성 드리프트를 가진 Euler-Maruyama 스킴의 약한 수렴 속도가 확립된다.
• Girsanov 변환을 기반으로 한 변형 방법은 Malliavin 미분이나 다듬어진 Itô 공식의 필요성을 피하여, 더 약한 정규성 가정 하에서도 분석이 가능하다.
• 드리프트에 대한 적분 가능성 조건 하에서, 차원에 영향을 받지 않는 Harnack 부등식은 불변 측도에 대해 $|Z(Y^x(t))|^2$ 의 지수적 적분 가능성을 보장하며, 이는 균일한 모멘트 추정으로 이어진다.
• 이 방법은 유한 또는 무한 기억을 가진 비퇴화 SDEs에 대한 절단된 EM 스킴로 확장 가능하며, 동일한 조건 하에서 약한 수렴이 증명된다.
• 특이 드리프트 및 기억을 가진 확률적 해밀토니안 시스템에 대해, 절단된 EM 스킴은 Harnack 부등식을 통해 유도된 명시적 수렴 차수를 갖는다.
• 불변 측도 $\mu_0$ 는 명시적으로 구성되며, Harnack 부등식은 $\mathbb{E}[\text{e}^{\gamma|Z(Y^x(t))|^2}] \leq C \cdot \text{e}^{L_0/(2(p-1))}$ 와 같은 추정을 제공한다. 이는 적분 가능성과 수렴성의 증명에 핵심적이다.