[논문 리뷰] Weak Differentiability of Solutions to SDEs With Semi-Monotone Drifts

Mahdieh Tahmasebi, Shiva Zamani|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 03.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소 리프시츠이고 준단조성인 드리프트를 가진 확률미분방정식(SDE)의 해에 대해 무한 차수의 말리아빈 미분가능성을 확립한다. 이는 전역 리프시츠 드리프트를 가진 SDE들의 수열을 구성하여 달성된다. 말리아빈 도함수의 p-모멘트에 대한 균일한 유계성과 해의 수렴성에 기반하여, 원래 SDE의 해가 공간 $$\mathbb{D}^\infty$$에 속함을 증명함으로써 금융 및 SDE 이론 분야에서 고급 말리아빈 미적분학 응용이 가능해진다.

ABSTRACT

In this work we prove Malliavin differentiability for the solution to an SDE with locally Lipschitz and semi-monotone drift. To this end we construct a sequence of SDEs with globally Lipschitz drifts. We show that the solutions of these SDEs converge to the solution of the original SDE and the p-moments of their Malliavin derivatives are uniformly bounded.

연구 동기 및 목표

• 비전역 리프시츠이지만 준단조성인 드리프트를 가진 SDE에 대해 말리아빈 미적분학을 확장하는 것.
• 전통적인 말리아빈 미적분학이 비전역 리프시츠 계수에 직접 적용되지 않는 기술적 과제를 해결하는 것.
• 원래 SDE의 해로 수렴하는 전역 리프시츠 드리프트를 가진 SDE들의 수열을 구성하는 것.
• 근사 수열 전반에 걸쳐 말리아빈 도함수의 p-모멘트가 균일하게 유계임을 확립하는 것.
• 수렴성과 균일한 적분 가능성에 기반해 원래 SDE의 해가 무한 차수 말리아빈 미분가능함($$\mathbb{D}^\infty$$)임을 증명하는 것.

제안 방법

• 부드러운 커파트 함수를 사용해 원래 드리프트를 매끄럽게 다듬음으로써 전역 리프시츠 드리프트를 가진 SDE 수열을 구성하는 것.
• 그론발의 부등식을 적용하여 근사 해의 k차 도함수 말리아빈 도함수의 p-모멘트에 대한 균일한 유계성을 도출하는 것.
• 전역 리프시츠 계수를 가지므로 근사 SDE들에 대해 전통적인 말리아빈 미적분학 프레임워크를 적용하는 것.
• 근사 해들이 원래 SDE의 해로 거의 확실히 및 $$L^p$$ 노름에서 수렴함을 증명하는 것.
• 도함수 모멘트의 균일한 유계성과 수렴성을 활용하여 극한 해의 무한 차수 말리아빈 미분가능성을 유추하는 것.
• SDE 흐름의 도함수 표현과 확률적 적분을 활용하여 핵심적인 모멘트 유계성을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 리프시츠이고 준단조성인 드리프트를 가진 SDE의 해가 무한 차수 말리아빈 미분가능함을 보일 수 있는가?
• RQ2 전역 리프시츠 드리프트를 가진 SDE들의 수열을 구성할 수 있는가? 이 수열의 해들이 원래 SDE의 해로 수렴하는가?
• RQ3 근사 해의 말리아빈 도함수의 p-모멘트가 수열 전반에 걸쳐 균일하게 유계인가?
• RQ4 도함수 모멘트의 균일한 유계성과 해의 수렴성을 조합하여 원래 해의 무한 미분가능성을 유추할 수 있는가?
• RQ5 드리프트 및 확산 계수에 어떤 조건이 성립하면 강한 해가 공간 $$\mathbb{D}^\infty$$에 존재하는가?

주요 결과

• 국소 리프시츠이고 준단조성인 드리프트를 가진 원래 SDE(2.1)의 해는 모든 차수에 대해 유일하게 강한 말리아빈 미분가능하다.
• 근사 해의 k차 도함수 말리아빈 도함수의 p-모멘트는 모든 $$p \geq 1$$ 및 모든 $$k \geq 1$$ 에 대해 균일하게 유계이다.
• 근사 SDE의 해들은 $$L^p$$ 및 거의 확실히 원래 SDE의 해로 수렴한다.
• 근사 수열 전반에 걸쳐 도함수 모멘트의 균일한 유계성과 수렴성의 조합이 원래 해가 $$\mathbb{D}^\infty$$에 속함을 의미한다.
• 핵심 기술적 단계는 근사 SDE에서 도함수 모멘트의 성장을 제어하기 위해 그론발의 부등식을 적용하는 것이다.
• 모리피케이션을 통한 근사 드리프트의 구성은 원래 드리프트의 준단조성 및 국소 리프시츠 성질을 유지하면서도 전역 리프시츠 연속성을 보장한다.