[논문 리뷰] Weak enriched categories - Categories enrichies faibles

Régis Pellissier|arXiv (Cornell University)|2003. 08. 26.

Linguistics and Discourse Analysis인용 수 9

한 줄 요약

이 학위논문은 C-위치에 이산 객체를 갖는 범주 C 위에서 약하게 증강된 범주에 대해, 셀 추가 계획에 대한 쿠일렌 스타일의 소형 객체 방법을 사용하여 닫힌 모델 범주 구조를 수립한다. 이는 기본 군의 범주와 위상적 세갈 군의 기하적 실현 사이의 가환관계를 통해 세갈 군의 범주를 특수한 경우로 복원한다.

ABSTRACT

This thesis is devoted to the proof of a theorem showing the existence of a closed model category structure for weakly enriched categories. It requires first of all the definitions of weakly enriched categories and equivalences of weakly enriched categories such that these definitions recover some existing notions of higher order weak categories, for example Segal categories, Tamsamani n-categories and strict n-categories. In order to prove our theorem, we elaborate a theory of plans for cell addition following the approach of the small object argument a la Quillen. We conclude this work with the proof that our theorem recovers the case of Segal categories. This last result requires a fundamental groupoid-geometric realization adjunction between Segal groupoids and topological spaces.

연구 동기 및 목표

• 세갈 군의 범주와 탐사마니 n-범주와 같은 고차원 약한 범주를 일반화하는 약하게 증강된 범주와 약한 동치를 정의하기 위해.
• 코프리프레임의 보편적 대체를 구성하기 위한 쿠일렌의 소형 객체 방법과 유사한 셀 추가 계획 이론을 개발하기 위해.
• C-예범주(함수자기 Δ^op → C)의 범주에 대해, 분류화에 의해 유도된 약한 동치를 갖는 닫힌 모델 범주 구조를 수립하기 위해.
• 결과로 얻어진 모델 구조가 분류화 이후 관련 C-범주에서의 동치에 대해 알려진 세갈 군의 범주에 대한 닫힌 모델 구조를 가환관계를 통해 복원함을 보여주기 위해.
• C의 이산 객체를 사용하여 기존의 고차원 약한 범주 프레임워크들을 하나의 증강 범주적 프레임워크로 통합하기 위해.

제안 방법

• Δ^op에서 범주 C로의 함자로서 C-예범주를 정의하고, 이는 C의 이산 객체 개념을 갖춘다.
• 면 맵 A_m → A_1 ×_{A_0} ... ×_{A_0} A_1 가 C에서의 약한 동치가 되는 조건을 만족하는 C-범주를 세갈 조건을 통해 정의한다.
• 셀 추가 계획을 사용한 소형 객체 방법을 적용하여 C-예범주의 범주에서 코프리프레임 대체를 생성한다.
• 분류화를 통한 C-범주의 약한 동치를 정의하며, 본질적 전성과 전부 충실성 조건이 필요하다.
• 세갈 군의 범주와 위상공간 사이의 기본 군의 범주-기하적 실현 가환관계를 수립하여 세갈 경우를 복원한다.
• 모델 구조에서 피브레이션과 약한 동치를 정의하기 위해 표시된 사상과 I-코프리프레임의 개념을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약하게 증강된 범주를 어떻게 정의할 수 있는가? 이는 세갈 군의 범주, 탐사마니 n-범주, 그리고 엄격한 n-범주를 일반화할 수 있어야 한다.
• RQ2 범주 C에 어떤 조건(예: 이산 객체의 존재)이 있어야 C-예범주의 잘 정의된 범주를 만들 수 있는가?
• RQ3 C-예범주에서 약한 동치가 분류화 이후 관련 C-범주에서의 동치가 되도록 하는 닫힌 모델 범주 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ4 C-예범주의 모델 구조가 세갈 군의 범주에 대해 알려진 닫힌 모델 구조를 복원하는가?
• RQ5 소형 객체 방법은 C-예범주의 코프리프레임 대체를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가? 이는 쿠일렌의 방법을 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 분류화 이후 C-범주에서의 동치로 변환되는 사상들인 약한 동치를 갖는 닫힌 모델 범주 구조가 C-예범주의 범주에 존재한다.
• 약한 동치가 분류화 이후 C-범주에서의 동치로 변환되는 사상들인 약한 동치를 갖는 닫힌 모델 범주 구조는 셀 추가 계획에 적응된 쿠일렌 스타일의 소형 객체 방법을 사용하여 구성되며, 이는 함자적 분해의 존재를 보장한다.
• C가 위상공간의 범주일 경우, 이 구성은 세갈 군의 범주에 대해 알려진 닫힌 모델 구조를 특수한 경우로 복원한다.
• 세갈 군의 범주와 위상공간 사이의 기본 군의 범주-기하적 실현 가환관계가 수립되며, 이는 세갈 경우를 복원하는 데 핵심적이다.
• C에서의 세갈 조건과 약한 동치를 통한 C-범주의 정의는 탐사마니의 n-범주를 포함한 기존의 고차원 약한 범주 개념을 일반화한다.
• C에서의 이산 객체의 사용은 C-범주의 객체 집합 A₀가 집합이 되게 하며, 이는 분류화 과정이 잘 정의되도록 하는 데 필수적이다.