[논문 리뷰] Weak error expansion of the implicit Euler scheme

Omar Aboura|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 25.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이토의 확률미분방정식에 대해 은밀한 오일러 방법에 대한 약한 오차 전개를 수립하며, 탈라예-투바로 프레임워크를 은밀한 방법으로 확장한다. 이는 오차의 약한 순서가 1임을 증명하고, 새로운 함수 $\psi_i$를 이용한 약한 오차의 일차 전개를 유도한다. 이 전개에서 나머지 항은 $O(h^2)$로 유계이며, 이는 $b^2\Delta u$ 및 $\sigma^2\Delta(b\partial u)$ 항을 포함한, 명시적 방법의 $\psi_e$와 다름을 반영한다. 이 결과는 코모고로프 방정식, 이토 및 클락-오콘 공식, 보간 기법에 기반한다.

ABSTRACT

In this paper, we extend the Talay Tubaro theorem to the implicit Euler scheme.

연구 동기 및 목표

• SDE에 대해 명시적 오일러 방법에서의 탈라예-투바로 약한 오차 전개 프레임워크를 은밀한 오일러 방법으로 확장하는 것.
• 부드럽고 유계인 계수 조건 하에서 은밀한 오일러 방법의 약한 수렴 행동을 분석하는 것.
• 새로운 함수 $\psi_i$를 포함한 정밀한 일차 약한 오차 전개를 도출하는 것. 이 함수는 주요 오차 항을 특징짓는다.
• 은밀한 방법이 더 자연스러운 SPDE에서의 약한 오차 연구를 위한 이론적 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• SDE와 관련된 코모고로프 후방 방정식을 사용하여 약한 오차 전개를 유도한다.
• 이산 은밀한 오일러 방법의 연속적 보간을 도입하여 약한 오차 분석을 가능하게 한다.
• 오차 항을 분해하고 추정하기 위해 이토 및 클락-오콘 공식을 적용한다.
• 은밀한 방법의 안정성과 보정 항을 모델링하기 위해 함수 $S_h(x) = 1/(1 - h b'(x))$ 를 사용한다.
• 합의 보조정리에 의해 이산-연속 근사화를 수립하며, $h\sum E[v(t_{k+1}, X^{N}_{t_{k+1}}) w(t_k, X^{N}_{t_k})] \to E\int v w(t, X_t) dt$ 를 $O(h)$ 오차로 보여준다.
• $\psi_{ih}$, 즉 $\psi_i$의 이산 근사와 연속적 $\psi_i$ 사이의 차이가 기대값에서 $O(h)$임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 탈라예-투바로 약한 오차 전개 프레임워크를 SDE의 은밀한 오일러 방법으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 은밀한 오일러 방법의 약한 오차 전개에서 주요 오차 항은 무엇이며, 명시적 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 은밀한 방법의 약한 오차는 표준 $O(h)$ 수렴 이외에 드리프트 및 확산 계수에 의해 어떻게 영향을 받는가?
• RQ4 함수 $S_h(x) = 1/(1 - h b'(x))$ 는 은밀한 방법의 약한 오차를 보정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 은밀한 오일러 방법의 약한 오차는 여전히 순서 1이며, 고차 전개를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 은밀한 오일러 방법은 약한 순서 1을 가지며, $N$에 독립적인 상수 $C$에 대해 $|\mathbb{E}[f(X_T^N)] - \mathbb{E}[f(X_T)]| \leq Ch$ 를 만족한다.
• 약한 오차는 일차 전개를 갖는다: $\mathbb{E}[f(X_T^N)] - \mathbb{E}[f(X_T)] = h\mathbb{E}\int_0^T \psi_i(t, X_t) dt + O(h^2)$, 여기서 $\psi_i$ 는 코모고로프 PDE의 해 $u$의 도함수와 $b$, $\sigma$ 를 포함한 명시적 형태로 정의된다.
• $\psi_i$ 는 $b^2\Delta u$, $\sigma^2\Delta(b\partial u)$ 및 고차 도함수를 포함한 항들로 명시적 방법의 $\psi_e$ 와 다름을 반영한다.
• 이산 근사 $\psi_{ih}$ 와 연속적 $\psi_i$ 사이의 차이는 $O(h)$로 유계이며, 이는 전개가 극한에서 여전히 유효함을 보장한다.
• 증명은 코모고로프 방정식, 이토 및 클락-오콘 공식, 그리고 이산-연속 근사에서의 오차를 통제하는 합의 보조정리에 기반한다.
• 만약 $b=0$ 이면, $\psi_i = \psi_e = \frac{1}{8}\sigma^4 \partial^4 u - \frac{1}{8}\sigma^2 \Delta(\sigma^2 \Delta u)$ 로 되며, 명시적 경우와의 일致성을 확인한다.