[논문 리뷰] Weak existence and uniqueness for affine stochastic Volterra equations with L1-kernels

Eduardo Abi Jaber|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 $L^1$-핵을 가진 애फ인 확률적 볼테라 적분 방정식에 대해 약한 존재성, 유일성 및 안정성을 입증하며, 푸리에–라플라스 변환에 대한 쌍대성 원리와 결정론적 리카티–볼테라 적분 방정식을 활용한다. 주요 기여는 일반적인 $L^1$-핵 프레임워크에서 약한 유일성을 증명함으로써 분수 동역학의 음수 허스트 지수와 초거친 헤스턴 모델에까지 적용 가능성을 확장한 것이다.

ABSTRACT

We provide existence, uniqueness and stability results for affine stochastic Volterra equations with $L^1$-kernels and jumps. Such equations arise as scaling limits of branching processes in population genetics and self-exciting Hawkes processes in mathematical finance. The strategy we adopt for the existence part is based on approximations using stochastic Volterra equations with $L^2$-kernels combined with a general stability result. Most importantly, we establish weak uniqueness using a duality argument on the Fourier--Laplace transform via a deterministic Riccati--Volterra integral equation. We illustrate the applicability of our results on Hawkes processes and a class of hyper-rough Volterra Heston models with a Hurst index $H \\in (-1/2,1/2]$.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 $L^1$-적분 가능 핵을 가진 애फ인 확률적 볼테라 방정식에 대해 약한 존재성과 유일성을 확립함으로써 $L^2$-핵 프레임워크를 초월하는 것.
• 해의 과정이 절대 연속성이 없을 경우 $L^1$-핵을 사용할 때 기존의 $L^2$-기반 접근 방식이 무력화됨을 다루는 것.
• 인구 유전학에서 분열 과정의 척도 근사와 금융 수학에서 자기자극적 하크스 과정의 엄밀한 기초를 제공하는 것.
• 허스트 지수 $H \in (-1/2, 0)$인 분수 동역학, 특히 초거친 헤스턴 모델을 모델링할 수 있도록 하는 것.
• 허스트 지수가 비음수인 영역에서도 다요소 마코프 근사가 거친 변동성 모델에 수렴하는가를 검증하는 것.

제안 방법

• 약한 존재성을 확립하기 위해 $L^1$-핵 방정식을 $L^2$-핵 확률적 볼테라 방정식의 수열로 근사하는 것.
• 근사 수열에 대한 일반적인 안정성 결과를 적용하여 법적 극한으로의 전환을 수행하는 것.
• 해의 법의 푸리에–라플라스 변환에 대한 쌍대성 원리를 활용하여 약한 유일성을 증명하는 것.
• 해의 특성 함수를 지배하는 결정론적 리카티–볼테라 적분 방정식을 유도하는 것.
• 지배적 점유 시간 과정 유도 과정에서 적분 순서를 바꾸기 위해 확률적 푸비니 정리를 활용하는 것.
• 촉매 작용 초과프로세스와 $H \in (-1/2, 1/2]$인 초거친 헤스턴 모델에 대한 적용을 통해 프레임워크의 타당성을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 존재성과 유일성이 $L^1$-핵을 가진 애फ인 확률적 볼테라 방정식에 대해 확립될 수 있는가? 특히 해가 절대 연속성이 아닐 수 있는 경우에 대해.
• RQ2 특히 이차 변동성이 절대 연속성이 아닐 때, $L^2$-핵의 정규성 부재 상황에서 약한 유일성을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ3 이 프레임워크는 분수 동역학의 음수 허스트 지수, 예를 들어 거친 변동성 모델에서와 같이 얼마나 넓게 수용할 수 있는가?
• RQ4 허스트 지수가 비음수일 경우에도 다요소 마코프 근사가 초거친 헤스턴 모델로 수렴하는가?
• RQ5 촉매 작용 초과브라운 운동의 국소 점유 시간과 $L^1$-핵을 가진 확률적 볼테라 방정식 사이의 정확한 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 약한 존재성은 $L^2$-핵 방정식로의 근사와 일반적인 안정성 결과를 통해 입증되며, 법적 수렴이 보장된다.
• 약한 유일성은 푸리에–라플라스 변환에 대한 쌍대성 원리를 활용하여 증명되며, 문제를 결정론적 리카티–볼테라 방정식으로 환원한다.
• 리카티–볼테라 방정식의 해는 애फ인 과정의 특성 함수를 지배하며, 모멘트 생성 함수 계산을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 허스트 지수 $H \in (-1/2, 1/2]$인 초거친 헤스턴 모델에 적용 가능하며, 이는 $H \in (-1/2, 0)$인 경우에도 확장된다.
• 점원 촉매를 가진 촉매 작용 초과브라운 운동의 국소 점유 시간은 핵 $K(t) = t^{-1/2}$를 가진 확률적 볼테라 방정식을 만족하며, 이는 $H = -1/4$에 해당한다.
• 다요소 마코프 근사가 $H \in (-1/2, 0]$인 경우에도 초거친 헤스턴 모델로 수렴함을 입증하여 수치 시뮬레이션을 가능하게 한다.