[논문 리뷰] Weak Hardy Spaces $WH_L^p({\mathbb R}^n)$ Associated to Operators Satisfying $k$-Davies-Gaffney Estimates

Jun Cao, Der‐Chen Chang외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 25.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 31인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $k$-Davies-Gaffney 추정을 만족하는 연산자 $L$와 관련된 약한 하르디 공간 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$을 도입하며, 이 공간에 대한 약한 분자의 특성화를 수립하고, 리에즈 변환과 분수 거듭제곱의 유계성을 증명한다. 주요 기여는 이전까지 알려지지 않았던, 평균 진동을 통한 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$의 쌍대 공간 식별이다. 이는 라플라스 연산자에 대해서조차도 새로운 결과이다.

ABSTRACT

Let $L$ be a one-to-one operator of type $ω$ having a bounded $H_\infty$ functional calculus and satisfying the $k$-Davies-Gaffney estimates with $k\in{\mathbb N}$. In this paper, the authors introduce the weak Hardy space $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ associated to $L$ for $p\in (0,\,1]$ via the non-tangential square function $S_L$ and establish a weak molecular characterization of $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$. Typical examples of such operators include the $2k$-order divergence form homogeneous elliptic operator $L_1:=(-1)^k\sum_{|α|=k=|β|}\partial^β(a_{α,β}\partial^α)$, where $\{a_{α,β}\}_{|α|=k=|β|}$ are complex bounded measurable functions, and the $2k$-order Schrödinger type operator $L_2:= (-Δ)^k+V^k$, where $Δ$ is the Laplacian operator and $0\le V\in L^k_{\mathop\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$. As applications, for $i\in\{1,\,2\}$ and $p\in(\frac{n}{n+k},\,1]$, the authors prove that the associated Riesz transform $ abla^k (L_i^{-1/2})$ is bounded from $WH^p_{L_i}(\mathbb{R}^n)$ to the classical weak Hardy space $WH^p(\mathbb{R}^n)$ and, for all $0

연구 동기 및 목표

• 연산자 $L$가 $k$-Davies-Gaffney 추정을 만족하는 경우에 대해 $p \in (0,1]$ 에 대해 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$을 정의하고 특성화한다.
• 비탄성 제곱 함수 $S_L$를 이용한 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$에 대한 약한 분자 특성화를 수립한다.
• 모든 $p \in (\frac{n}{n+k}, 1]$ 에 대해 리에즈 변환 $\nabla^k L^{-1/2}$ 이 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 에서 고전적 약한 하르디 공간 $WH^p(\mathbb{R}^n)$ 로의 유계성을 증명한다.
• 실 보간 이론을 통해 $L^2(\mathbb{R}^n) \cap WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 가 서로 다른 $p \in (0,1]$ 에 대해 $L^2(\mathbb{R}^n) \cap H_L^p(\mathbb{R}^n)$ 사이의 중간 공간임을 보인다.
• $p \in (0,1]$ 에 대해 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 의 쌍대 공간을 평균 진동을 통한 방법으로 식별하며, 이는 $L$ 가 Davies-Gaffney 추정을 만족하는 비음수 자기수반 연산자일 경우로 일반화된다.

제안 방법

• 비탄성 제곱 함수 $S_L(f)(x) = \left(\int_{\Gamma(x)} |t^k \nabla^k e^{-t^{2k}L}f(y)|^2 \frac{dy\,dt}{t^{n+1}}\right)^{1/2}$ 를 이용해 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 을 정의한다.
• 연산자 $L$ 에 적합한 분자 구조를 구성함으로써, 크기, 상쇄, 제곱 함수 감쇠 조건을 만족하는 분자 특성화를 수립한다.
• 실 보간 이론을 활용하여 $L^2(\mathbb{R}^n) \cap WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 가 다양한 $p \in (0,1]$ 에 대해 $L^2(\mathbb{R}^n) \cap H_L^p(\mathbb{R}^n)$ 사이의 중간 공간임을 증명한다.
• 이토록 정교한 덮개 이론을 사용하여, 이중 정수 큐브와 동심원판을 기반으로 한 덮개를 이용해 평균 진동 공간 $W\Lambda_L^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ 을 정의하고, 이를 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 의 쌍대 공간과 연결한다.
• 약한 유형 추정과 제곱 함수 지배 원리를 이용해 $\nabla^k L^{-1/2}$ 가 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 에서 $WH^p(\mathbb{R}^n)$ 으로의 유계성을 증명한다.
• 보간과 함수 해석학을 통해 $0 < p < r \leq 1$ 과 $\alpha = n(1/p - 1/r)$ 인 경우, 분수 거듭제곱 $L^{-\alpha/(2k)}$ 가 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 에서 $WH_L^r(\mathbb{R}^n)$ 으로의 유계성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연산자 $L$ 가 $k$-Davies-Gaffney 추정을 만족하는 경우에 대해 약한 하르디 공간 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 는 어떻게 정의되고 특성화될 수 있는가?
• RQ2 약한 분자 특성화는 무엇이며, 이는 제곱 함수 $S_L$ 와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 리에즈 변환 $\nabla^k L^{-1/2}$ 는 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 에서 고전적 약한 하르디 공간 $WH^p(\mathbb{R}^n)$ 으로 유계적인가? 어떤 $p$ 에서 성립하는가?
• RQ4 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 의 쌍대 공간은 식별될 수 있으며, 평균 진동을 통한 그 구조는 어떠한가?
• RQ5 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 이 실 보간에 어떻게 작용하며, 어떤 중간 공간을 생성하는가?

주요 결과

• 모든 $p \in (\frac{n}{n+k}, 1]$ 에 대해 리에즈 변환 $\nabla^k L^{-1/2}$ 는 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 에서 $WH^p(\mathbb{R}^n)$ 으로 유계적이다.
• $0 < p < r \leq 1$ 과 $\alpha = n(1/p - 1/r)$ 인 경우, 분수 거듭제곱 $L^{-\alpha/(2k)}$ 는 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 에서 $WH_L^r(\mathbb{R}^n)$ 으로 유계적이다.
• $L^2(\mathbb{R}^n) \cap WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 는 서로 다른 $p \in (0,1]$ 에 대해 $L^2(\mathbb{R}^n) \cap H_L^p(\mathbb{R}^n)$ 사이의 중간 공간이다.
• $p \in (0,1]$ 에 대해 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 의 쌍대 공간은 $W\Lambda_L^{n(1/p - 1)}(\mathbb{R}^n)$ 로 식별되며, 이는 유계 열린 집합의 덮개를 기반으로 한 평균 진동으로 정의된다.
• 라플라스 연산자($L = -\Delta$)의 경우에도 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 의 쌍대 공간이 $W\Lambda_L^{n(1/p - 1)}(\mathbb{R}^n)$ 로 새롭게 식별되며, 이는 이전까지 알려지지 않은 경우를 해결한다.
• 쌍대 공간 특성화는 $\mathcal{N} > n(1/p - 1/2)$ 를 만족하는 한 매개변수 $\mathcal{N}$ 에 영향을 받지 않으며, 이에 따라 $W\Lambda_L^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ 의 표기법은 $\mathcal{N}$ 에 의존하지 않는다.