[논문 리뷰] Weak Hopf algebras and quantum groupoids

Peter Schauenburg|ArXiv.org|2002. 04. 13.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 기저 대수 $R$가 프로비우스-분리 가능할 때, 약한 호프 대수(양자 군oids)와 타케우치의 $ imes_R$-bialgebras 사이의 정확한 동치를 확립한다. 약한 bialgebra가 프로비우스-분리 가능성을 갖는 $R$를 가진 $ imes_R$-bialgebra와 동치임을 증명하며, 모듈-코모듈 카테고리 사이의 직접적 동치를 제공함으로써 양자 군oid 이론의 기초적 문제를 해결하고, 유한성 가정 없이 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We give a detailed comparison between the notion of a weak Hopf algebra (also called a quantum groupoid by Nikshych and Vainerman), and that of a $ imes_R$-bialgebra due to Takeuchi (and also called a bialgebroid or quantum (semi)groupoid by Lu and Xu). A weak bialgebra is the same thing as a $ imes_R$-bialgebra in which $R$ is Frobenius-separable. We extend the comparison to cover module and comodule theory, duality, and the question when a bialgebroid should be called a Hopf algebroid.

연구 동기 및 목표

• 약한 bialgebra(보쉬-슐라카니)와 $ imes_R$-bialgebra(타케우치)라는 두 경쟁적 개념의 양자 군oid 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 약한 bialgebra가 정확히 기저 대수 $R$가 프로비우스-분리 가능할 때 $ imes_R$-bialgebra임을 보여주기 위해.
• 유한 차원성을 가정하지 않고도 이론적 틀에 모듈 및 코모듈 이론, 이중성, 호프 앨리브로이드의 구조를 확장하기 위해.
• 약한 항성 또는 유한성에 의존하지 않고, 공리로부터 직접적으로 동치를 증명함으로써 문헌에서 발생하는 기초적 애매함을 해결하기 위해.

제안 방법

• 약한 bialgebra를 단위 원소를 보존하지 않는 곱셈을 가지며, 약화된 쌍대단위 공리(axioms)를 만족하는 대수로 정의한다.
• $R$가 비가환 기저 대수인 $ imes_R$-bialgebras를 정의하며, $R$에서 $H$로의 두 대수 사상이 소스 및 타겟 사상에 대응한다.
• 약한 bialgebra의 타겟 및 소스 쌍대단위 부분대수들이 프로비우스-분리 가능함을 약한 bialgebra 공리만을 사용하여 증명한다.
• 유한성 가정 없이도 약한 bialgebra $H$의 코모듈 카테고리와 관련된 $ imes_R$-bialgebra $H$의 코모듈 카테고리 사이의 직접적 동치를 구성한다.
• 클래식한 호프 대수 기준과 유사하게, 약한 호프 대수를 특징짓기 위해 $H \otimes_{H_t} H \to \Delta(1)(H \otimes H)$의 캐논리컬 사상(canonical map)을 사용한다.
• 약한 bialgebra의 쌍대 대수의 반대를 이용하여 $H$의 코모듈 카테고리와 그 쌍대의 카테고리 사이의 모나이드 동치를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 bialgebra가 $ imes_R$-bialgebra와 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 기저 대수 $R$의 프로비우스-분리 가능성은 $ imes_R$-bialgebra가 약한 bialgebra가 되기 위해 충분하고 필수적인가?
• RQ3 약한 bialgebra의 코모듈 카테고리는 그에 관련된 $ imes_R$-bialgebra의 코모듈 카테고리와 자연스럽게 일치하는가?
• RQ4 약한 bialgebra의 이중성 이론은 $ imes_R$-bialgebra의 이중성 이론과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $\times_R$-bialgebra 틀 안에서 약한 호프 대수는 무엇으로 특징지어지는가?

주요 결과

• 약한 bialgebra는 기저 대수 $R$가 프로비우스-분리 가능할 때이고, 그때에만 $ imes_R$-bialgebra와 동치이다.
• 어떤 약한 bialgebra의 타겟 및 소스 쌍대단위 부분대수는 약한 항성의 존재를 가정하지 않더라도 프로비우스-분리 가능하다.
• 유한성 가정 없이도 약한 bialgebra $H$와 그에 관련된 $ imes_R$-bialgebra 사이의 코모듈 카테고리 간에 직접적이고 완전한 동치가 존재한다.
• 약한 bialgebra의 왼쪽 코모듈 카테고리는 그에 관련된 $ imes_R$-bialgebra의 왼쪽 코모듈 카테고리와 모나이드 동치이다.
• 약한 bialgebra는 캐논리컬 사상 $H \otimes_{H_t} H \to \Delta(1)(H \otimes H)$가 전단사(bijection)일 때이고, 그때에만 약한 호프 대수이다.
• 약한 bialgebra의 이중성 이론은 그 쌍대의 반대를 통해 복원되며, 이는 $ imes_R$-bialgebra의 코모듈 카테고리와의 모나이드 동치를 수립한다.