[논문 리뷰] Weak Hopf Algebras and Reducible Jones Inclusions of Depth 2. I: From Crossed products to Jones towers

Florian Nill, Kornél Szlachányi외 1명|ArXiv.org|1998. 06. 23.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 23인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 교차곱 구조를 통해 유한 차수, 유한 지수, 깊이-2인 von Neumann 대수의 포함관계와 유한 차원의 약한 C*-호프 대수 사이의 대응을 수립한다. 약한 호프 대수 내의 정규화된 양의 왼쪽 적분이 정규 조건 기대와 존스 프로젝션을 유도함을 보이며, 이러한 적분과 하아거루프-쌍대 조건 기대 사이를 연결하는 플랑카르 복소 대칭을 도입한다. 표준 불변량은 약한 호프 대수와 그 쌍대와 관련된 존스 삼중항으로 실현된다.

ABSTRACT

We apply the theory of finite dimensional weak C^*-Hopf algebras A as developed by G. Böhm, F. Nill and K. Szlachányi to study reducible inclusion triples of von-Neumann algebras N \subset M \subset (M\cros\A). Here M is an A-module algebra, N is the fixed point algebra and \M\cros\A is the crossed product extension. ``Weak'' means that the coproduct Δon A is non-unital, requiring various modifications of the standard definitions for (co-)actions and crossed products. We show that acting with normalized positive and nondegenerate left integrals l\in\A gives rise to faithful conditional expectations E_l: M-->N, where under certain regularity conditions this correspondence is one-to-one. Associated with such left integrals we construct ``Jones projections'' e_l\in\A obeying the Jones relations as an identity in M\cros\A. Finally, we prove that N\subset M always has finite index and depth 2 and that the basic Jones construction is given by the ideal M_1:=M e_l M \subset M\cros\A, where under appropriate conditions M_1 = M\cros\A. In a subsequent paper we will show that converseley any reducible finite index and depth-2 Jones tower of von-Neumann factors (with finite dimensional centers) arises in this way.

연구 동기 및 목표

• 유한 차원의 약한 C*-호프 대수를 사용하여 기약적이지 않은 깊이-2 부분요소의 분류를 일반화하기 위해.
• 유한 지수, 깊이-2인 von Neumann 대수의 포함관계와 약한 C*-호프 대수 작용 사이의 대응을 수립하기 위해.
• 약한 호프 대수 내의 정규화된 양의 왼쪽 적분에서 존스 프로젝션과 조건 기대를 구성하기 위해.
• 약한 호프 대수의 맥락에서 왼쪽 적분에 대한 플랑카르 복소 대칭을 도입하고 특성화하기 위해.
• 이러한 포함관계의 표준 불변량이 약한 호프 대수와 그 쌍대와 관련된 존스 삼중항으로 실현됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 유한 차원의 약한 C*-호프 대수를 사용하여 von Neumann 대수의 교차곱 확장을 구성한다.
• 약한 호프 대수의 왼쪽 작용을 von Neumann 대수 M에 정의하며, 고정점 대수 N = M^A를 얻는다.
• 정규화된 양의 왼쪽 적분 l ∈ A로부터 조건 기대 E_l(m) = l ▷ m를 구성한다.
• 교차곱 대수 M ⋊ A 내에서 e_l m e_l = E_l(m) e_l = e_l E_l(m) 를 만족하는 존스 프로젝션 e_l ∈ A를 도입한다.
• 쌍대 약한 호프 대수를 통해 플랑카르 복소 대칭을 정의하며, l ∈ A의 p-쌍대 λ ∈ Â 는 λ ↷ e_l = 1 을 만족한다.
• N ⊂ M에 대한 기본 구성이 이상 M₁ = M e_l M ⊂ M ⋊ A로 주어지고, 정규 조건이 성립할 경우 M₁ = M ⋊ A 임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 차수, 유한 지수, 깊이-2인 von Neumann 대수의 포함관계는 약한 호프 대수를 통해 어떻게 분류될 수 있는가?
• RQ2 정규화된 양의 왼쪽 적분은 교차곱 구성에서 조건 기대와 존스 프로젝션을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 플랑카르 복소 대칭은 약한 호프 대수의 왼쪽 적분과 그 쌍대, 하아거루프-쌍대 조건 기대 사이의 관계를 어떻게 연결하는가?
• RQ4 N ⊂ M에 대한 기본 구성이 전체 교차곱 M ⋊ A와 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이러한 포함관계의 표준 불변량의 구조는 무엇이며, 약한 호프 대수와 그 쌍대를 통해 어떻게 실현되는가?

주요 결과

• 정규화된 양의 비퇴화된 왼쪽 적분 l ∈ A 는 E_l(m) = l ▷ m 로 주어지는 조건 기대 E_l: M → N 로 이어진다.
• 이러한 적분은 교차곱 대수 M ⋊ A 내에서 존스 관계 e_l m e_l = E_l(m) e_l = e_l E_l(m) 를 만족하는 존스 프로젝션 e_l ∈ A 를 생성한다.
• 플랑카르 복소 대칭은 l ∈ A 의 p-쌍대 λ ∈ Â 가 λ ↷ e_l = 1 을 만족하도록 정의되며, 적분과 그 쌍대 사이의 대칭성을 확립한다.
• N ⊂ M 에 대한 기본 구성은 이상 M₁ = M e_l M ⊂ M ⋊ A 로 실현되며, 외부 작용 등의 정규 조건이 성립할 경우 M₁ = M ⋊ A 이다.
• N ⊂ M 의 표준 불변량은 A_L ⊂ A ⊂ A ⋊ Â 인 존스 삼중항으로 주어지며, 여기서 A_L ≅ A ▷ 1_M ⊂ M 이고 A_L 는 M 내에서 A 의 상과 동형이다.
• 일부 내부 군 작용의 경우 약한 호프 대수의 구조는 날카로운 군 대수 C H_z 와 날카로운 작용 β 로부터 유도되며, Δ, ε, S 는 식 (B.11)–(B.13)에 의해 정의되고, S² = id 가 성립한다.