[논문 리뷰] Weak Hopf Algebras I: Integral Theory and C^*-structure

Gabriella Böhm, Florian Nill외 1명|ArXiv.org|1998. 05. 26.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 60

한 줄 요약

이 논문은 단위 및 코단위 공리가 약화된 코결합적 히프 대수의 일반화로서 약한 히프 대수를 도입하며, 적분 이론을 수립하고 $C^*$-경우에 유일한 하르 측도와 표준 군형 원소의 존재를 증명한다. 약한 히프 대수의 대수적 구조는 표준 부분대수 $A^L$과 $A^R$에 의해 지배되며, 반순수성, 프로베니우스 성질, $S^2$의 내부성은 비퇴화 또는 하르 적분의 존재와 관련이 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We give an introduction to the theory of weak Hopf algebras proposed recently as a coassociative alternative of weak quasi-Hopf algebras. We follow an axiomatic approach keeping as close as possible to the "classical" theory of Hopf algebras. The emphasis is put on the new structure related to the presence of canonical subalgebras A^L and A^R in any weak Hopf algebra A that play the role of non-commutative numbers in many respects. A theory of integrals is developed in which we show how the algebraic properties of A, such as the Frobenius property, or semisimplicity, or innerness of the square of the antipode, are related to the existence of non-degenerate, normalized, or Haar integrals. In case of C^*-weak Hopf algebras we prove the existence of a unique Haar measure h in A and of a canonical grouplike element g in A implementing the square of the antipode and factorizing into left and right algebra elements. Further discussion of the C^*-case will be presented in Part II.

연구 동기 및 목표

• 체 $K$ 위에서 약한 히프 대수에 대한 공리적이고 자기 dual인 프레임워크를 개발하여 고전적 히프 대수 이론을 일반화한다.
• 약한 히프 대수에서 적분에 대한 포괄적인 이론을 수립하여 반순수성 및 프로베니우스 조건과 같은 대수적 성질이 비퇴화 또는 하르 적분의 존재와 어떻게 연결되는지 밝힌다.
• 특히 $C^*$-경우에 $A$ 내의 고유한 하르 측도 $h \in A$와 표준 군형 원소 $g \in A$의 존재를 증명하며, $g = g_L g_R^{-1}$, $g_L \in A^L$, $g_R \in A^R$ 이고 $S^2$를 구현함을 보인다.
• 양자 대칭 이론에서 약한 히프 대수의 역할을 명확히 하며, 특히 연산자 대수학과 양자장 이론에서 부분대수와 교차곱셈의 맥락에서 다룬다.
• 표현적으로 $C^*$-약한 히프 대수가 자기 dual임을 보이며, $A^{L}A^{R}$가 $B \otimes B^{op}$와 동형인 대수들의 직합으로 분해되며, 이들 대수들은 정규화되고 비퇴화된 적분을 갖는다.

제안 방법

• 체 $K$ 위에서 코곱이 단위가 아니며 ($\Delta(1) \neq 1 \otimes 1$), 코단위가 오직 약하게 곱셈적임을 가정하는 약한 이중대수 및 약한 히프 대수의 공리화를 수행한다.
• 좌측 및 우측 투영 $\sqcap^L$과 $\sqcap^R$의 상으로서 정의된 표준 부분대수 $A^L$과 $A^R$를 정의하며, 이들은 비가환 수와 유사한 역할을 한다.
• 왼쪽 및 오른쪽 정규 작용을 통해 약한 히프 대수에서 적분을 도입하고, 대수적 조건과 양성 조건을 통해 비퇴화 및 하르 적분을 정의한다.
• $C^*$-경우에 하르 측도 $h \in A$의 존재가 양성 원소 $\sqcap^R(l)$의 존재와 동치임을 증명하며, 이와 표준 군형 원소 $g$ 사이의 관계를 $g = g_L g_R^{-1}$로 연결한다.
• $B$가 분리 가능하고 지수 1인 비퇴화 함수형 $E$를 갖는 대수일 때, 쌍대 기저 $\{e_i\}, \{f_i\}$를 사용하여 $B \otimes B^{op}$ 위에 약한 히프 대수의 구조를 구성하고, $l = \sum f_i \otimes e_i$ 가 정규화되고 비퇴화된 왼쪽 적분임을 보인다.
• 함수형 $E$에 대한 비퇴화 추적 $\text{tr}$에 대한 라돈-니코다임 도함수 $\gamma$를 사용하여 $\theta$가 내부임을 보장함으로써 $S^2$가 내부임을 보장하고, $B \otimes B^{op}$ 및 그 쌍대에서 하르 측도의 존재 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 히프 대수의 약화된 공리—특히 $\Delta(1) \neq 1 \otimes 1$ 및 $\varepsilon$의 약한 곱셈성—이 표준 히프 대수와 비교해 구조 및 표현 이론에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 표준 부분대수 $A^L$과 $A^R$이 약한 히프 대수의 대수적 및 적분적 구조를 어떻게 지배하는가?
• RQ3 약한 히프 대수가 비퇴화 또는 하르 적분을 갖기 위한 조건는 무엇이며, 이는 반순수성, 프로베니우스 성질 및 $S^2$의 내부적 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $C^*$-경우에 고유한 하르 측도 $h \in A$가 존재하는가? 그리고 이는 $S^2$를 구현하는 표준 군형 원소 $g$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $B \otimes B^{op}$ 형태의 약한 히프 대수로 모든 유한차원 $C^*$-약한 히프 대수를 실현할 수 있는가? 이 구성에서 하르 측도의 존재를 보장하는 조건는 무엇인가?

주요 결과

• $C^*$-약한 히프 대수에서 고유한 하르 측도 $h \in A$가 존재하며, 정규화되어 있으며, $h = \hat{h} \circ S$ 를 만족하고 $\varepsilon(h) = 1$ 이다.
• 표준 군형 원소 $g \in A$가 존재하여 $S^2(x) = g x g^{-1}$ 를 만족하며, $g = g_L g_R^{-1}$ 로 분해되며, $g_L \in A^L$, $g_R \in A^R$ 이고 $g_L, g_R$ 는 가역적이다.
• $B \otimes B^{op}$에서 하르 측도의 존재는 $\sum_i f_i \gamma^2 e_i$ 의 가역성과 동치이며, 여기서 $\gamma$ 는 $E$ 의 비퇴화 추적에 대한 라돈-니코다임 도함수이다.
• $\theta$ 가 내부이면 $B \otimes B^{op}$ 에서 $S^2$ 의 제곱은 내부적이며, 이는 $\gamma$ 가 가역적이라는 사실에 의해 보장되며, $S^2 = \theta \otimes \theta$ 이고 $\theta(x) = \gamma x \gamma^{-1}$ 를 만족한다.
• 쌍대 $\hat{A}$ 위에서의 왼쪽 및 오른쪽 정규 작용은 $\rho_R = \hat{g}_R^{1/2} \eta \eta^* \hat{g}_R^{-1/2}$ 를 만족하며, 이는 어떤 $\eta \in \hat{A}^R$ 에 대해 $\sqcap^R(l)$ 의 양성 조건을 특징짓는다.
• $A^{L}A^{R}$ 는 초중심이 $A^L \cap A^R$ 인 부분-WHA이며, $B \otimes B^{op}$ 와 동형인 약한 히프 대수들의 직합으로 분해되며, 각각은 정규화되고 비퇴화된 왼쪽 적분 $l = \sum f_i \otimes e_i = S^2(1_{(2)})1_{(1)}$ 을 갖는다.