[논문 리뷰] Weak Hopf Algebras II: Representation theory, dimensions and the Markov trace

Gabriella Böhm, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|1999. 06. 08.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 7인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 약한 C*-호프 대수(WHA)의 표현 이론을 확장하여, 유한차원 단위표현의 범주를 모나이드 C*-범주로 분석한다. 쌍대항성이 순수하지 않을 경우 행렬값을 가진 차원 함수를 도입하고, 하어 조건기대와 마르코프 조건기대를 통해 두 개의 수치적 불변량인 공통 지수 I와 δ를 유도하며, 특히 약한 카크 대수에서 I = δ는 정수임을 증명한다. 일반적인 경우에서는 I > δ임을 확인한다.

ABSTRACT

If A is a weak C^*-Hopf algebra then the category of finite dimensional unitary representations of A is a monoidal C^*-category with monoidal unit being the GNS representation D_eps associated to the counit \eps. This category has isomorphic left dual and right dual objects which leads, as usual, to the notion of dimension function. However, if \eps is not pure the dimension function is matrix valued with rows and columns labelled by the irreducibles contained in D_eps. This happens precisely when the inclusions A^L < A and A^R < A are not connected. Still there exists a trace on A which is the Markov trace for both inclusions. We derive two numerical invariants for each C^*-WHA of trivial hypercenter. These are the common indices I and δ, of the Haar, respectively Markov conditional expectations of either one of the inclusions A^{L/R} < A and Adual^{L/R} < Adual. In generic cases I > δ. In the special case of weak Kac algebras we show that I=δis an integer.

연구 동기 및 목표

• 약한 C*-호프 대수(WHA)의 표현 이론을 모나이드 C*-범주로서 발전시키는 것.
• 쌍대항성 ε에 의해 유도되는 GNS 표현 D_ε의 구조를 분석하며, 특히 ε가 순수하지 않은 경우에 중점을 두는 것.
• 표현 범주에서의 쌍대 대상들로부터 유도되는 행렬값을 가진 차원 함수를 정의하고 연구하는 것.
• 하어 조건기대와 마르코프 조건기대로부터 유도되는 두 개의 수치적 불변량 I와 δ를 도입하고 계산하는 것.
• I = δ가 성립하는 조건을 규명하며, 특히 약한 카크 대수의 맥락에서 이를 고려하는 것.

제안 방법

• 약한 C*-호프 대수 A의 유한차원 단위표현의 범주를 단위 D_ε를 가진 모나이드 C*-범주로 구성한다.
• 좌우 쌍대 대상의 대칭성을 이용해 차원 함수를 정의하며, ε이 순수하지 않으면서 이 함수는 행렬값을 가진다.
• ε가 순수하지 않을 경우 A^L < A와 A^R < A의 포함관계가 비연결임을 확인하고, 이에 따라 행렬값을 가진 차원이 발생함을 밝힌다.
• A 위에 정의된 추적을 도입하여, A^L < A와 A^R < A 양쪽 포함관계에 대해 마르코프 추적으로서의 역할을 수행한다.
• 공통 지수 I와 δ를 A^L < A와 A^R < A의 하어 조건기대와 마르코프 조건기대의 지수로 유도한다.
• 이론을 약한 카크 대수에 적용하여, 이 특수한 경우에 I = δ가 정수임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 C*-호프 대수의 표현 범주는 모나이드 C*-범주로서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 쌍대항성 ε가 순수하지 않을 경우 차원 함수의 성격은 무엇이며, 기존의 스칼라값 함수와는 어떻게 다를까?
• RQ3 수치적 불변량 I와 δ는 무엇이며, 하어 조건기대와 마르코프 조건기대와는 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 I = δ가 성립하는 조건은 무엇이며, 이는 약한 호프 대수의 구조에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 약한 카크 대수의 경우 I = δ는 정수인가? 이는 그들의 표현 이론에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 약한 C*-호프 대수 A의 유한차원 단위표현의 범주는 단위 D_ε를 가진 모나이드 C*-범주이다.
• 쌍대항성 ε가 순수하지 않을 경우, 차원 함수는 행렬값을 가지며, 이는 D_ε에 포함된 기약 표현들에 의해 행과 열이 인덱싱된다.
• 불변량 I와 δ는 A^L < A와 A^R < A의 포함관계에 대해 하어 조건기대와 마르코프 조건기대의 공통 지수로 정의된다.
• 일반적인 경우에 지수 I는 δ를 초과하며, 이는 포함 관계의 격자에 비트리비얼한 구조가 있음을 시사한다.
• 약한 카크 대수의 경우, 불변량 I와 δ는 I = δ를 만족하며, 이 공통 값은 정수이다.
• A 위에 정의된 추적이 존재하며, 이는 A^L < A와 A^R < A 양쪽 포함관계에 대해 마르코프 추적으로서의 역할을 하며, 추적의 일관성을 보장한다.