[논문 리뷰] Weak invariance principle for the local times of Gibbs-Markov processes

Michael Bromberg|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 16.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 혼합성, 확률을 보존하는 거스-마르코프 사상에서 평균이 0이고, 비주기적이고, 리프시츠 연속인 관측량을 갖는 경우, 국소 시간의 정규화된 국소 시간 과정 $ l_n(x) $ 에 대해 기능적 약한 불변성 원리를 확립한다. 이는 $ l_n(x) $ 가 표준 브라운 운동의 국소 시간으로 분포 수렴함을 증명한다. 결과는 유한 타입의 부분시프트에 대해 고려된 갈레르-메르코프 측도로도 확장된다.

ABSTRACT

The subject of this paper is to prove a functional weak invariance principle for the local time of a process generated by a Gibbs-Markov map. More precisely, let $\left(X,\mathcal{B},m,T,α ight)$ is a mixing, probability preserving Gibbs-Markov{ ormalsize{}. and let $φ\in L^{2}\left(m ight)$ be an aperiodic function with mean $0$. Set $S_{n}=\sum_{k=0}^{n}X_{k}$ and define the hitting time process $L_{n}\left(x ight)$ be the number of times $S_{k}$ hits $x\in\mathbb {Z}$ up to step $n.$ The normalized local time process $l_{n}\left(x ight)$ is defined by $ l_{n}\left(t ight)=\frac{L_{n}\left(\left\lfloor \sqrt{n}x ight floor ight)}{\sqrt{n}},\,\, x\in\mathbb{R}$. We prove under that $l_{n}\left(x ight)$ converges in distribution to the local time of the Brownian Motion. The proof also applies to the more classical setting of local times derived from a subshift of finite type endowed with a Gibbs measure.

연구 동기 및 목표

• 갈레르-마르코프 과정의 국소 시간에 대해 기능적 약한 불변성 원리를 확립하기 위해.
• 정규화된 국소 시간 과정 $ l_n(x) $ 가 브라운 운동의 국소 시간으로 분포 수렴함을 증명하기 위해.
• 갈레르-마르코프 구조를 갖는 동역계에 대해 기능 중심극한정리가 국소 시간 수준으로 확장됨을 보여주기 위해.
• 서브시퀀스의 수렴한 극한이 유일함을 확인하고, $ l_n $ 의 수렴한 서브시퀀스의 수렴 극한이 브라운 운동의 국소 시간임을 규명하기 위해.

제안 방법

• 관측량 $ \varphi \in L^2(m) $ 의 부분합 $ S_k $ 를 고려하여, 정규화된 국소 시간 과정 $ l_n(x) = \frac{\#\{0 \leq k \leq n : S_k = \lfloor \sqrt{n}x \rfloor\}}{\sqrt{n}} $ 을 정의한다.
• 전이 연산자 $ \hat{T} $ 와 그 $ L_{\infty,\beta} $ 에서의 준콤팩트성 성질을 이용해 시스템의 스펙트럼 성질을 분석한다.
• 모멘트 한계와 허더 연속성 추정을 통해 $ \mathbb{R} $ 상의 cadlag 함수의 스코로호드 공간에서 $ l_n $ 의 콤팩트성(긴밀성)을 확립한다.
• 관측 측도의 수렴을 보이기 위해 $ \nu_{\omega_n} $ 를 $ \int l_n(x)dx $ 로 근사하고, $ \nu_{\omega_n} - \int l_n(x)dx \overset{d}{\to} 0 $ 이 성립함을 보인다.
• 모든 $ g \in \bigcup_k G_k $ 에 대해 투영 $ \pi_g(l_n) \to \pi_g(l) $ 의 수렴을 보여, 수렴하는 $ l_n $ 의 서브시퀀스의 극한이 브라운 운동의 국소 시간임을 규명한다.
• 스코로호드 위상에서의 관측 시간 기능의 연속성과 $ \omega_n \to \omega $ 에 대한 기능 중심극한정리를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 갈레르-마르코프 시스템의 정규화된 국소 시간 과정이 분포 수렴하여 표준 브라운 운동의 국소 시간으로 수렴하는가?
• RQ2 관측량 $ \varphi $ 가 어떤 조건을 만족할 경우 국소 시간 수준에서 기능적 약한 불변성 원리가 성립하는가?
• RQ3 비주기적이고 평균이 0이며, 리프시츠 연속인 관측량을 갖는 갈레르-마르코프 역학에서 국소 시간 과정 $ l_n $ 의 긴밀성이 확립될 수 있는가?
• RQ4 브라운 운동의 국소 시간이 $ l_n $ 의 유일한 약한 극한인가? 그리고 이는 어떤 간격에 대한 투영을 통해 어떻게 확인할 수 있는가?
• RQ5 결과는 갈레르-메르코프 측도를 갖는 유한 타입의 부분시프트로 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 제시된 조건 하에서 정규화된 국소 시간 과정 $ l_n(x) $ 는 표준 브라운 운동의 국소 시간 $ l(x) $ 으로 분포 수렴한다.
• 모멘트 한계와 허더 연속성 추정을 통해 $ l_n $ 의 긴밀성이 확립되어, cadlag 함수 공간에서 상대 콤팩트성을 보장한다.
• 관측 측도 $ \nu_{\omega_n} $ 와 $ l_n $ 의 적분 간의 차이가 분포 수렴으로 0으로 수렴함을 확인하여, $ l_n $ 이 밀도 근사로 적합함을 보여준다.
• 모든 수렴하는 $ l_n $ 의 서브시퀀스 극한이 거의확실하게 브라운 운동의 국소 시간과 일치함을, 간격에 대한 투영 수렴을 통해 보였다.
• 이 증명은 $ \omega_n \to \omega $ 에 대한 기능 중심극한정리와 스코로호드 위상에서의 관측 시간 기능의 연속성에 기반한다.
• 결과는 갈레르-메르코프 측도를 갖는 유한 타입의 부분시프트로도 성립하여, 일반 갈레르-마르코프 사상 외적 적용 범위를 확장한다.