[논문 리뷰] Weak model categories in classical and constructive mathematics

Simon Henry|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 24인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 '약한 모델 범주'—호모토피 이론을 위한 일반화된 프레임워크를 제안한다. 이는 코프라임 및 프라임 객체 간의 사상에 대해 요소 분해와 립팅 성질만 요구한다. 이는 쿠란 모델 범주보다 더 단순한 구조를 제공하며, 칸-쿠릴렌, 조일-루리에, 베리티의 고전적 모델 구조와 그 반사적 단순체계 변형에 대해 구조적 증명을 가능하게 하며, 특히 예측 가능하고 구조적인 소 객체 작동을 통해 기존의 전형적 쿠란 모델 범주보다 훨씬 단순화된 구성 방법을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce a notion of "weak model category" which is a weakening of the notion of Quillen model category, still sufficient to define a homotopy category, Quillen adjunctions, Quillen equivalences and most of the usual construction of categorical homotopy theory. Both left and right semi-model categories are weak model categories, and the opposite of a weak model category is again a weak model category. The main advantages of weak model categories is that they are easier to construct than Quillen model categories. In particular we give some simple criteria on two weak factorization systems for them to form a weak model category. The theory is developed in a very weak constructive framework and we use it to produce, completely constructively (even predicatively), weak versions of various standard model categories, including the Kan-Quillen model structure, the variant of the Joyal model structure on marked simplicial sets, and the Verity model structure for weak complicial sets. We also construct semi-simplicial versions of all these.

연구 동기 및 목표

• 쿠란 모델 범주보다 더 약하고, 더 구조적으로 접근 가능한 프레임워크를 개발하여, 호모토피 범주와 쿠란 수반 관계를 정의한다.
• 칸-쿠릴렌, 조일-루리에, 베리티 모델 구조와 같은 고전적 모델 구조의 존재에 대해, 코프라임 및 프라임 객체에 국한하여 구조적 존재 증명을 제공한다.
• 좌측 및 우측 반모델 범주를 자가 dual인 약한 모델 범주 개념으로 일반화하여, 핵심 호모토피적 구조를 유지한다.
• 자연수 객체와 결정 가능 부분객체를 사용한 예측 가능하고 구조적인 소 객체 작동을 정형화하여, 효과적인 구성이 가능하도록 한다.
• 기존에 구조적으로 어렵게 구성 가능한 반사적 단순체계 버전의 표준 모델 범주로 이러한 결과를 확장한다.

제안 방법

• 모든 객체에 대한 전면적 분해를 피하고, 코프라임 도메인과 프라임 타겟을 가진 사상에 국한하여 두 개의 약한 분해 체계를 통해 약한 모델 범주를 정의한다.
• 자연수 객체와 호모지셋 내 결정 가능 부분객체를 기반으로 한 구조적 소 객체 작동을 사용하여 분해를 구성하고, 코프라임 사상이 생성 코프라임 사상의 전이형 합성의 재구성임을 증명한다.
• 생성 코프라임 사상의 도메인에 대해, 호모지 함수자가 ℕ-체인의 합성과 푸시아웃을 보존하도록 보장하고, 푸시아웃이 호모지셋 내에서 보완 가능한 단사 사상이 되도록 한다.
• 세트로이드, 체인 복합체, 단순체계 집합, 마킹된 단순체계 집합, 계층적 단순체계 집합 등의 범주에 대해 약한 모델 구조를 구성한다.
• 약한 모델 범주의 반대 범주는 다시 약한 모델 범주임을 증명하여, 대칭적이고 이중성 보존이 가능한 호모토피 이론의 처리를 가능하게 한다.
• 파라미터화된 리스트 객체를 갖는 카르테시안 범주에서 소 객체 작동을 정형화하여, 유형 이론 기반의 내부 논리 체계 정형화 가능성에 대한 암시를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿠란 모델 범주보다 더 약한 개념의 모델 범주를 정의할 수 있는가? 이는 여전히 호모토피 이론의 핵심 구성—호모토피 범주, 쿠란 수반 관계, 동치성—을 지원하면서도, 더 쉽게 구조적으로 구성 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 칸-쿠릴렌 및 조일-루리에 모델 구조와 같은 고전적 모델 구조는 코프라임 및 프라임 객체에 국한하여 구조적으로 존재함을 증명할 수 있는가?
• RQ3 범주와 그 약한 분해 체계가 예측 가능하고 구조적인 환경에서 약한 모델 범주를 형성하기 위해 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ4 소 객체 작동은 선택 공리나 비예측적 구성에 의존하지 않고 어떻게 구조적으로 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 반사적 단순체계 버전의 표준 모델 구조(예: 반사적 단순체계 집합 위)는 이 프레임워크를 통해 구성 가능한가?

주요 결과

• 약한 모델 범주는 좌측 및 우측 반모델 범주를 일반화하며, 대칭성에 의해 닫혀 있으며, 약한 모델 범주의 반대 범주는 다시 약한 모델 범주임을 보여준다.
• 약한 모델 범주의 호모토피 범주는 쿠란의 구성 방식과 유사하게, 코프라임-프라임 객체 간의 약한 동치를 사용하여 정의할 수 있다.
• 결정 가능 조건 하에서 소 객체 작동을 통해 단순체계 집합 위의 칸-쿠릴렌 모델 구조와 마킹된 단순체계 집합 위의 조일-루리에 모델 구조에 대한 구조적 증명이 달성되었다.
• 약한 복합체집합을 위한 베리티 모델 구조와 체인 복합체 위의 프로젝티브 모델 구조도 모두 약한 모델 범주로서 구조적으로 확립되었다.
• 칸-쿠릴렌, 조일-루리에, 베리티 모델 구조의 반사적 단순체계 버전이 구성되었으며, 이는 프레임워크가 단순체계 집합을 초월한 적용 가능성임을 보여준다.
• 소 객체 작동의 '좋은 경우'—즉, 호모지 함수자가 합성과 푸시아웃을 보존하고, 푸시아웃이 결정 가능 부분객체를 유도하는 경우—에서 코프라임 사상이 생성 코프라임 사상의 전이형 합성의 재구성임을 증명하여, 표준적인 대수적 성질이 구조적으로도 검증되었다.