[논문 리뷰] Weak Multiplier Hopf Algebras II. The source and target algebras

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 31.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 약한 승수 호프 대수에서의 소스 및 타겟 대수를 조사하며, $ \Delta(1) $를 나타내는 표준 아이소토픽 $ E $ 가 $ M(B \otimes C) $ 에 속해 있으며, 이는 분리성 아이소토픽임을 입증한다. 여기서 $ B = \varepsilon_s(A) $ 이고 $ C = \varepsilon_t(A) $ 이다. 정규 약한 승수 호프 대수의 경우, $ E $ 는 정규 분리성 아이소토픽이며, 이러한 아이소토픽을 가진 임의의 두 비퇴화 대수 쌍으로부터 새로운 약한 승수 호프 대수를 구성할 수 있다. 이는 약한 호프 대수 이외의 새로운 예를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we continue the study of weak multiplier Hopf algebras. We recall the notions of the source and target maps $\varepsilon_s$ and $\varepsilon_t$, as well as of the source and target algebras. Then we investigate these objects further. Among other things, we show that the canonical idempotent $E$ (which is eventually $Δ(1)$) belongs to the multiplier algebra $M(B\otimes C)$ where $B=\varepsilon_s(A)$ and $C=\varepsilon_t(A)$ and that it is a separability idempotent. We also consider special cases and examples in this paper. In particular, we see how for any weak multiplier Hopf algebra, it is possible to make $C\otimes B$ (with $B$ and $C$ as above) into a new weak multiplier Hopf algebra. In a sense, it forgets the 'Hopf algebra part' of the original weak multiplier Hopf algebra and only remembers the source and target algebras. It is in turn generalized to the case of any pair of non-degenerate algebras $B$ and $C$ with a separability idempotent $E\in M(B\otimes C)$. We get another example using this theory associated to any discrete quantum group (a multiplier Hopf algebra of discrete type with a normalized cointegral). Finally we also consider the well-known 'quantization' of the groupoid that comes from an action of a group on a set. All these constructions provide interesting new examples of weak multiplier Hopf algebras (that are not weak Hopf algebras).

연구 동기 및 목표

• 약한 승수 호프 대수에서 소스 및 타겟 대수 $ \varepsilon_s(A) $ 와 $ \varepsilon_t(A) $ 의 구조와 성질을 조사하는 것.
• 소스 대수 $ B = \varepsilon_s(A) $, 타겟 대수 $ C = \varepsilon_t(A) $ 에 대해 $ E \in M(B \otimes C) $ 인 표준 아이소토픽의 역할을 분석하고, 이것이 분리성 아이소토픽임을 보이는 것.
• 주어진 대수의 소스 및 타겟 대수에서부터 분리성 아이소토픽을 사용하여 약한 승수 호프 대수의 구성법을 일반화하는 것.
• 이론을 이산 양자군과 군oids의 양자화에 적용하여, 비-약한 호프 대수의 새로운 예를 만들어내는 것.
• 특히 코인테그랄과 쌍대항등원과의 관계에서 비정규 설정에서 분리성 아이소토픽이 존재할 조건을 탐구하는 것.

제안 방법

• 논문은 $ A $ 가 항등원이 없는 비퇴화 대수이고 $ \Delta $ 가 비퇴화 코곱인 약한 승수 호프 대수의 프레임워크를 사용한다.
• 소스 및 타겟 사상 $ \varepsilon_s, \varepsilon_t: A \to M(A) $ 를 정의하며, 그 상은 각각 소스 대수 $ B = \varepsilon_s(A) $, 타겟 대수 $ C = \varepsilon_t(A) $ 이다.
• 표준 아이소토픽 $ E \in M(B \otimes C) $ 가 분리성 조건 $ (E \otimes 1)(1 \otimes E) = E $ 를 만족함을 보여, 이는 분리성 아이소토픽임을 의미한다.
• 원래 호프 대수의 구조를 忽略하고 소스 및 타겟 대수 데이터만 유지하면서 $ C \otimes B $ 에 새로운 약한 승수 호프 대수를 구성한다.
• 이론은 정규화된 코인테그랄을 가진 이산 양자군에 적용되며, 원래 대수가 이산 유형의 승수 호프 ∗-대수이면, 이로부터 약한 승수 호프 ∗-대수를 얻을 수 있다.
• 논문은 군oids 작용에서의 구성법을 일반화하고, 분리성 아이소토픽을 사용하여 새로운 예를 만들어내며, 이는 비-약한 호프 대수의 사례를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 아이소토픽 $ E $, 즉 $ \Delta(1) $ 이 소스 및 타겟 대수 $ B \otimes C $ 의 승수 대수 $ M(B \otimes C) $ 와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 표준 아이소토픽 $ E \in M(B \otimes C) $ 가 분리성 아이소토픽이 되는 조건은 무엇이며, 언제 정규적일까?
• RQ3 소스 및 타겟 대수와 $ M(B \otimes C) $ 에서의 분리성 아이소토픽을 바탕으로 약한 승수 호프 대수를 재구성할 수 있는가?
• RQ4 정규화된 코인테그랄을 가진 이산 양자군에서 출발할 경우, 새로운 약한 승수 호프 ∗-대수를 구성하는 데 어떤 함의가 있는가?
• RQ5 비정규 분리성 아이소토픽은 존재하는가? 그리고 이는 승수 호프 대수에서 코인테그랄과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 표준 아이소토픽 $ E $, 즉 $ \Delta(1) $ 을 나타내는 것은 $ M(B \otimes C) $ 에 속하며, 여기서 $ B = \varepsilon_s(A) $, $ C = \varepsilon_t(A) $ 이고, 분리성 조건 $ (E \otimes 1)(1 \otimes E) = E $ 를 만족한다.
• 정규 약한 승수 호프 대수의 경우, 표준 아이소토픽 $ E $ 는 정규 분리성 아이소토픽이며, 추가적인 비퇴화성 및 가역성 조건을 만족한다.
• 임의의 두 비퇴화 대수 $ B $ 와 $ C $ 가 분리성 아이소토픽 $ E \in M(B \otimes C) $ 를 가진다면, $ C \otimes B $ 에서 새로운 약한 승수 호프 대수를 구성할 수 있으며, 이는 원래 호프 대수의 구조를 忽略하는 것이다.
• 이를 이산 양자군(정규화된 코인테그랄을 가진 이산 유형의 승수 호프 ∗-대수)에 적용하면, 원래 대수가 이산 유형의 승수 호프 ∗-대수이면, 약한 승수 호프 ∗-대수를 얻을 수 있다.
• 이 구성법은 군oids 양자화에도 적용되며, 비-약한 호프 대수에 속하는 새로운 약한 승수 호프 대수의 예를 만들어낸다.
• 논문은 비정규 분리성 아이소토픽이 여전히 열린 문제임을 밝히며, 특히 $ h^2 = 0 $ 과 같은 아이소토픽이 아닌 코인테그랄과의 관계에서 중요한 문제로 남아 있음을 지적한다.