[논문 리뷰] Weak multiplier Hopf algebras III. Integrals and duality

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 18.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정규 약화 승수 호프 대수에서 적분과 쌍대성의 이론을 제시하며, 충분한 적분을 갖는 이러한 대수는 다시 정규 약화 승수 호프 대수이자 적분을 갖는 쌍대 구조를 갖는다는 것을 증명한다. 이 쌍대성은 유한 차원의 약화 호프 대수와 대수적 양자군에 대한 기존 결과를 일반화하며, 군oids 기반의 예시를 통해 설명된다.

ABSTRACT

Let $(A,Δ)$ be a weak multiplier Hopf algebra. It is a pair of a non-degenerate algebra $A$, with or without identity, and a coproduct $Δ$ on $A$, satisfying certain properties. The main difference with multiplier Hopf algebras is that now, the canonical maps $T_1$ and $T_2$ on $A\otimes A$, defined by $$T_1(a\otimes b)=Δ(a)(1\otimes b) \qquad\quad ext{and}\qquad\quad T_2(c\otimes a)=(c\otimes 1)Δ(a),$$ are no longer assumed to be bijective. Also recall that a weak multiplier Hopf algebra is called regular if its antipode is a bijective map from $A$ to itself. In this paper, we introduce and study the notion of integrals on such regular weak multiplier Hopf algebras. A left integral is a non-zero linear functional on $A$ that is left invariant (in an appropriate sense). Similarly for a right integral. For a regular weak multiplier Hopf algebra $(A,Δ)$ with (sufficiently many) integrals, we construct the dual $(\widehat A,\widehatΔ)$. It is again a regular weak multiplier Hopf algebra with (sufficiently many) integrals. This duality extends the known duality of finite-dimensional weak Hopf algebras to this more general case. It also extends the duality of multiplier Hopf algebras with integrals, the so-called algebraic quantum groups. For this reason, we will sometimes call a regular weak multiplier Hopf algebra with enough integrals an algebraic quantum groupoid. We discuss the relation of our work with the work on duality for algebraic quantum groupoids by Timmermann. We also illustrate this duality with a particular example in a separate paper. In this paper, we only mention the main definitions and results for this example. However, we do consider the two natural weak multiplier Hopf algebras associated with a groupoid in detail and show that they are dual to each other in the sense of the above duality.

연구 동기 및 목표

• 정규 약화 승수 호프 대수에서 왼쪽 및 오른쪽 적분을 정의하고 연구하기.
• 충분한 적분을 갖는 정규 약화 승수 호프 대수에 대해 쌍대 약화 승수 호프 대수의 구조를 구성하기.
• 대수적 양자군과 유한 차원의 약화 호프 대수의 쌍대성 이론을 더 넓은 맥락으로 일반화하기.
• 이 프레임워크 하에서 군oids와 관련된 두 약화 승수 호프 대수 $ K(G) $ 와 $ \mathbb{C}G $ 가 상호 쌍대임을 보여주기.
• 이 연구와 승수 호프 가닥대수에 대해 적분을 갖는 Timmermann의 결과 사이의 관계를 명확히 하기.

제안 방법

• 코프로덕트에 대한 특정 불변 조건을 만족하는 0이 아닌 선형 함수로서 왼쪽 및 오른쪽 적분을 정의하기.
• 구조에 핵심적인 캐논컬 아이디포텐트 $ E \in M(A \otimes A) $ 를 사용하여 캐논컬 사상 $ T_1 $ 과 $ T_2 $ 의 상과 당김을 특성화하기.
• 적분과 쌍대성 쌍대 $ \langle f, \lambda_p \rangle = f(p) $ 를 사용하여 쌍대 약화 승수 호프 대수 $ (\widehat{A}, \widehat{\Delta}) $ 를 구성하기.
• 정규 경우에 이중성이 존재하는 항등사상 $ S $ 를 활용하여 쌍대 구조를 정의하고 그 공리가 만족됨을 검증하기.
• 군oids 기반의 예시인 $ K(G) $ 와 $ \mathbb{C}G $ 에 이 구성 적용하여, 쌍대성 쌍대를 통해 서로가 쌍대임을 보여주기.
• Radford의 공식 $ \mu \diamond \mu = \mu(1)\mu $ 의 형태를 활용하여, 단일 충실한 적분으로부터 적분을 표현하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 약화 승수 호프 대수에서 적분은 어떻게 정의되고 특성화될 수 있는가?
• RQ2 정규 약화 승수 호프 대수에 대해 충분한 적분이 존재할 때, 그 쌍대 구조가 다시 정규 약화 승수 호프 대수이자 적분을 갖는가?
• RQ3 군oids $ G $ 와 관련된 두 대수 $ K(G) $ 와 $ \mathbb{C}G $ 사이의 쌍대성은 일반적인 쌍대성 프레임워크에 어떻게 맞물리는가?
• RQ4 이 쌍대성은 승수 호프 가닥대수에 대해 적분을 갖는 Timmermann의 결과와 어떤 관계가 있는가?
• RQ5 충분한 적분이 존재할 때 단일 충실한 적분의 존재가 보장될 수 있으며, 이는 프로베니우스 성질과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 충분한 수의 적분을 갖는 정규 약화 승수 호프 대수는 다시 정규 약화 승수 호프 대수이자 적분을 갖는 쌍대 구조 $ (\widehat{A}, \widehat{\Delta}) $ 를 갖는다.
• 이 쌍대성은 기존의 유한 차원의 약화 호프 대수와 대수적 양자군의 쌍대성 이론을 무한 차원 설정으로 일반화한다.
• 군oids $ G $ 와 관련된 두 약화 승수 호프 대수 $ K(G) $ 와 $ \mathbb{C}G $ 는 쌍대성 쌍대 $ \langle f, \lambda_p \rangle = f(p) $ 에 따라 상호 쌍대이다.
• 단일 충실한 왼쪽 적분이 존재할 경우, 모든 왼쪽 적분은 라돈-니코다임 원소를 통해 표현 가능하며, 모듈러 자동사상이 잘 정의된다.
• 양성 적분을 갖는 약화 승수 호프 $^*$-대수의 쌍대는 $^*$-구조와 양성 적분을 유지할 것으로 기대되며, 이는 힐버트 공간으로의 상향 이행을 가능하게 한다.
• 비정규 경우에서는 이 이론이 열려 있으며, 기저 대수의 프로베니우스 성질이 단일 충실한 적분의 존재를 보장하는 데 중심적인 역할을 한다는 것은 추측된다.