[논문 리뷰] Weak Multiplier Hopf Algebras. The main theory

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 16.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 정수를 갖지 않는 비가역적, 비자명한 대수에서 코곱이 정의되는 다중형 히프 대수와 약한 히프 대수의 일반화로 약한 다중형 히프 대수를 제안한다. 여기서 코곱은 항등원이 없는 비가역적, 비자명한 대수에서 정의되며, 자연스러운 항등원 $ E \in M(A\otimes A) $ 를 통해 코결합성 조건을 만족한다. 주요 기여는 고유한 역원의 구성과 전반적인 딱딱한 이중성 이론 개발이며, 약한 히프 대수는 특수한 경우이며, 군oids 대수는 약한 다중형 히프 대수의 쌍대 쌍을 생성한다.

ABSTRACT

A weak multiplier Hopf algebra is a pair (A,Δ) of a non-degenerate idempotent algebra A and a coproduct $Δ$ on A. The coproduct is a coassociative homomorphism from A to the multiplier algebra M(A\otimes A) with some natural extra properties (like the existence of a counit). Further we impose extra but natural conditions on the ranges and the kernels of the canonical maps T_1 and T_2 defined from A\otimes A to M(A\otimes A) by T_1(a\otimes b)=Δ(a)(1\otimes b) and T_2(a\ot b)=(a\otimes 1)Δ(b). The first condition is about the ranges of these maps. It is assumed that there exists an idempotent element E\in M(A\otimes A) such that Δ(A)(1\ot A)=E(A\ot A) and (A\otimes 1)Δ(A)=(A\otimes A)E. The second condition determines the behavior of the coproduct on the legs of E. We require (Δ\otimes ι)(E)=(ι\otimesΔ)(E)=(1\otimes E)(E\ot 1)=(E\otimes 1)(1\otimes E) where $ι$ is the identity map and where $Δ\otimes ι$ and $ι\otimesΔ$ are extensions to the multipier algebra M(A\otimes A). Finally, the last condition determines the kernels of the canonical maps T_1 and T_2 in terms of this idempotent E by a very specific relation. From these conditions we develop the theory. In particular, we construct a unique antipode satisfying the expected properties and various other data. Special attention is given to the regular case (that is when the antipode is bijective) and the case of a *-algebra (where regularity is automatic). Weak Hopf algebras are special cases of such weak multiplier Hopf algebras. Conversely, if the underlying algebra of a (regular) weak multiplier Hopf algebra has an identity, it is a weak Hopf algebra. Also any groupoid, finite or not, yields two weak multiplier Hopf algebras in duality.

연구 동기 및 목표

• 정상적인 사상 $ T_1 $ 과 $ T_2 $ 의 전단사 조건을 완화함으로써 다중형 히프 대수와 약한 히프 대수를 일반화하여, 비단위, 비가역적 대수를 허용한다.
• 자연스러운 항등원 $ E \in M(A\otimes A) $ 를 사용하여 새로운 히프 유사 구조인 약한 다중형 히프 대수를 정의함으로써, $ T_1 $ 과 $ T_2 $ 의 범위와 핵을 특성화하고, 전단사 조건을 특정한 범위 및 핵 조건으로 대체한다.
• 기본적인 역원 항등식을 만족하는 전체 역원 $ S $ 가 존재하고 고유함을 보장함으로써, 기저 대수에 항등원이 없더라도 성립함을 보장한다.
• 역원 $ S $ 가 전단사인 정규 약한 다중형 히프 대수의 경우, 반대 대수를 취하는 것에 대해 닫혀 있으며, 군oids 대수로부터 자연스럽게 이러한 구조의 쌍대 쌍이 유도됨을 보여준다.
• 단위가 없는 설정에서 이중성 이론과 이중성 정리의 프레임워크를 제공함으로써, 단위 대수에 국한되지 않는 히프 대수 이론을 확장한다.

제안 방법

• 약한 다중형 히프 대수를 비가역적, 항등원이 없는 대수 $ A $ 와 코결합성 조건을 만족하는 코곱 $ \Delta: A \to M(A\otimes A) $ 의 쌍 $ (A, \Delta) $ 로 정의한다. 이때 자연스러운 항등원 $ E \in M(A\otimes A) $ 를 통해 $ T_1 $ 과 $ T_2 $ 의 범위 및 핵 조건을 특성화한다.
• 범위 조건 $ \Delta(A)(1\otimes A) = E(A\otimes A) $ 과 $ (A\otimes 1)\Delta(A) = (A\otimes A)E $ 를 도입하여, $ E $ 가 고유하고 $ T_1 $ 과 $ T_2 $ 의 이미지를 특성화함을 보장한다.
• 코결합성 조건 $ (\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta $ 를 다중형 대수로 확장하며, $ \Delta $ 는 $ M(A) \to M(A\otimes A) $ 로 확장되어 $ \Delta(1) = E $ 를 만족한다.
• 자연스러운 항등원 $ E $ 를 통한 핵 조건을 도입하여, $ T_1 $ 과 $ T_2 $ 의 핵이 각각 $ E $ 를 통해 정의된 왼쪽 및 오른쪽 소멸자와 정확히 일치함을 보장함으로써, 공리 체계를 완성한다.
• 역원 $ S: A \to A $ 를 구성하여, $ \Delta(a)(1\otimes S(a)) = \varepsilon(a)(1\otimes 1) $ 과 $ (S(a)\otimes 1)\Delta(a) = \varepsilon(a)(1\otimes 1) $ 이 다중형 대수의 관점에서 성립하도록 하며, $ \varepsilon $ 는 코유니트이다.
• 정리 2.9 의 대체 특성화를 사용하여, $ S $ 가 전단사일 경우 반대 대수 $ A^{\text{op}} $ 가 동일한 $ \Delta $ 와 함께 약한 다중형 히프 대수의 구조를 가지며, 역원 $ S^{-1} $ 를 통해 이를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자연스러운 항등원 $ E $ 를 통한 범위 및 핵 조건으로 전단사 조건을 대체함으로써, 다중형 히프 대수 이론을 비단위 대수로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 기저 대수 $ A $ 에 항등원이 없을 경우, 코곱 $ \Delta $ 와 정상 사상 $ T_1, T_2 $ 에 대한 어떤 조건이 코결합성과 고유한 역원의 존재를 보장하는가?
• RQ3 $ (A, \Delta) $ 가 정규일 경우, 반대 대수 $ A^{\text{op}} $ 는 어떤 조건에서 약한 다중형 히프 대수의 구조를 유지하는가?
• RQ4 약한 히프 대수와 군oids 대수는 이 일반화된 프레임워크에 어떻게 통합되며, 어떤 이중성 관계가 도출되는가?
• RQ5 기저 대수 $ A $ 에 항등원이 없더라도, 이 일반화된 설정에서 역원이 고유하게 구성되고 표준적인 역원 항등식을 만족하는가?

주요 결과

• 고유한 자연스러운 항등원 $ E \in M(A\otimes A) $ 가 존재하여, $ \Delta(A)(1\otimes A) = E(A\otimes A) $ 와 $ (A\otimes 1)\Delta(A) = (A\otimes A)E $ 를 만족함으로써, 정상 사상 $ T_1 $ 과 $ T_2 $ 의 범위를 특성화한다.
• 코곱 $ \Delta $ 는 고유하게 $ \Delta: M(A) \to M(A\otimes A) $ 로 확장되며, $ \Delta(1) = E $ 를 만족함으로써 다중형 히프 대수의 확장을 일반화한다.
• 역원 $ S $ 는 존재하고 고유하며, 기저 대수에 항등원이 없더라도 다중형 대수의 관점에서 표준적인 역원 항등식을 만족한다.
• 자연스러운 항등원 $ E $ 는 이중특성 조건 $ (\Delta \otimes \iota)(E) = (\iota \otimes \Delta)(E) = (1\otimes E)(E\otimes 1) = (E\otimes 1)(1\otimes E) $ 를 만족하여, 코결합성과 코곱과의 호환성을 보장한다.
• 정규 케이스(역원 $ S $ 가 전단사인 경우)에서는 반대 대수 $ A^{\text{op}} $ 가 동일한 $ \Delta $ 와 함께 다시 약한 다중형 히프 대수의 구조를 가지며, 역원 $ S^{-1} $ 를 통해 반대 대수 구성에 대한 닫힘을 증명한다.
• 약한 히프 대수는 약한 다중형 히프 대수의 특수한 경우이다. 만약 정규 약한 다중형 히프 대수의 기저 대수가 항등원을 갖는다면, 이는 약한 히프 대수이다.
• 유한 또는 무한 군oids 대수로부터 자연스럽게 약한 다중형 히프 대수의 쌍대 쌍이 유도되며, 풍부한 예시를 제공한다.