[논문 리뷰] Weak Omega Categories I

Carl A. Futia|ArXiv.org|2004. 04. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 반사적, 구형 구조를 갖는 부분적으로 정의된 합성 연산을 가진 오메가 망마(omega magma)의 스파인을 통해 약한 오메가 범주에 대한 개념적으로 단순한 이론을 제안한다. 여기서 유사성은 엄격한 오메가 범주로의 스파인을 통해 강제된다. 주요 기여는 Baez-Dolan의 안정화 가설이 정의 그 자체로부터 직접 도출된다는 점이며, 이 틀은 이중범주, 엄격한 오메가 범주, Penon의 약한 오메가 범주를 자연스럽게 일반화한다. 또한 낮은 차원에서 범주적 동치로 줄어드는 약한 동치의 개념을 정의한다.

ABSTRACT

We develop a theory of weak omega categories that will be accessible to anyone who is familiar with the language of categories and functors and who has encountered the definition of a strict 2-category. The most remarkable feature of this theory is its simplicity. We build upon an idea due to Jacques Penon by defining a weak omega category to be a span of omega magmas with certain properties. (An omega magma is a reflexive, globular set with a system of partially defined, binary composition operations which respects the globular structure.) Categories, bicategories, strict omega categories and Penon's weak omega categories are all instances of our weak omega categories. We offer a heuristic argument to justify the claim that Batanin's weak omega categories also fit into our framework. We show that the Baez-Dolan stabilization hypothesis is a direct consequence of our definition of weak omega categories. We define a natural notion of a pseudo-functor between weak omega categories and show that it includes the classical notion of a homomorphism between bicategories. In any weak omega category the operation of composition with a fixed 1-cell defines such a pseudo-functor. Finally, we define a notion of weak equivalence between weak omega categories which generalizes the standard definition of an equivalence between ordinary categories.

연구 동기 및 목표

• 운영자나 모나드와 같은 고급 도구를 사용하지 않고도 약한 오메가 범주에 대한 새로운, 접근하기 쉬운 이론을 개발하는 것.
• 이중범주, 엄격한 오메가 범주, Penon의 약한 오메가 범주와 같은 기존 개념들을 통합된 틀 안에서 일반화하는 것.
• Baez-Dolan의 안정화 가설이 제안된 정의로부터 직접 도출됨을 보이는 것.
• 기존의 이중범주 간의 동형사상이 포함되는, 약한 오메가 범주 간의 일반화된 편의 함자(pseudo-functor)를 정의하는 것.
• 낮은 차원에서 표준적인 개념으로 줄어드는, 이 설정에서의 약한 동치의 자연스러운 개념을 도입하는 것.

제안 방법

• 구형 구조를 존중하는 부분적으로 정의된 이항 합성 연산 체계를 갖춘 반사적, 구형 집합으로서의 오메가 망마를 정의한다.
• 약한 오메가 범주는 범주에서 엄격한 오메가 범주로 향하는 오메가 망마의 스파인으로서 정의되며, 특정 유형의 유사성 공리(axiom)를 만족한다.
• Penon의 아이디어를 활용하여, 엄격한 등식이 아닌 동치를 통한 유사성 표현을 스파인을 통해 코herency를 표현한다.
• 기존의 이중범주 간의 편의 함자를 자연스럽게 일반화한, 티운 오메가 편의 함자(tame omega pseudo-functors)를 도입한다.
• 모든 관련 셀에 대해 경로 범주(ΠF 및 ΠF(a,b))에 유도된 사상이 동치가 되도록, 경로 범주에 대한 사상으로서 약한 동치를 정의한다.
• 고정된 1-세포와의 합성은 티운 오메가 편의 함자를 정의하며, 이는 고전적 행동을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운영자나 모나드에 의존하지 않고도 약한 오메가 범주에 대한 단순하고 접근 가능한 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 Baez-Dolan의 안정화 가설은 약한 오메가 범주의 새로운 정의로부터 자연스럽게 도출되는가?
• RQ3 오메가 망마의 스파인 틀이 이중범주나 Penon의 약한 오메가 범주 같은 알려진 예를 포괄할 수 있는가?
• RQ4 기존의 이중범주 함수를 포함하는 일반화된 편의 함수의 개념을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ5 이 설정에서의 약한 동치는 무엇이며, 낮은 차원에서 표준 개념으로 줄어드는가?

주요 결과

• Baez-Dolan의 안정화 가설은 제안된 약한 오메가 범주 정의로부터 직접 도출된다.
• 티운 오메가 편의 함자 범주의 전체 부분범주는 모든 n-스켈레탈 약한 오메가 범주를 포함하며, 약한 오메가 범주의 범주 자체도 부분범주로 포함한다.
• 약한 오메가 범주에서 고정된 1-세포와의 합성은 티운 오메가 편의 함자를 정의하며, 이는 고전적 행동을 일반화한다.
• 1-스켈레탈 약한 오메가 범주 간의 약한 동치는 기저가 되는 1-범주에서의 범주적 동치를 유도하며, 마찬가지로 2-스켈레탈 범주에 대해서도 동일하다.
• 오메가 동치는 경로 범주에 유도된 사상이 동치가 되는 것으로 특징지어지며, 내부 동치(예: 항등 세포와의 합성)는 오메가 동치이다.
• 만약 i-세포가 내부 동치이면, 관련 오메가 편의 함자는 오메가 동치이며, 이는 기대되는 범주론적 행동과 일관됨을 확인한다.