[논문 리뷰] Weak Rigidity Theory and its Application to Multi-agent Formation Stabilization

Gangshan Jing, Guofeng Zhang외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 09.

Structural Analysis and Optimization참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 거리 대신 상대 간 이동 벡터 간의 쌍별 내적을 사용하여 다중 에이전트 형성의 안정성을 확보하는 약한 격자 이론을 도입한다. 이는 더 적은 제약 조건으로 형성 제어를 가능하게 한다. 최소한의 센서 요구 조건을 충족시키며, 센서 그래프가 격자형이 아니더라도 국소적 지수 안정성을 보장하는 기울기 기반 및 비기울기 기반 제어 법칙을 제안한다. 이는 GPS가 없는 환경에서 통신 없이 분산적으로 작동하는 해결책을 제공한다.

ABSTRACT

This paper introduces the notion of weak rigidity to characterize a framework by pairwise inner products of inter-agent displacements. Compared to distance-based rigidity, weak rigidity requires fewer constrained edges in the graph to determine a geometric shape in an arbitrarily dimensional space. A necessary and sufficient graphical condition for infinitesimal weak rigidity of planar frameworks is derived. As an application of the proposed weak rigidity theory, a gradient based control law and a non-gradient based control law are designed for a group of single-integrator modeled agents to stabilize a desired formation shape, respectively. Using the gradient control law, we prove that an infinitesimally weakly rigid formation is locally exponentially stable. In particular, if the number of agents is one greater than the dimension of the space, a minimally infinitesimally weakly rigid formation is almost globally asymptotically stable. In the literature of rigid formation, the sensing graph is always required to be rigid. Using the non-gradient control law based on weak rigidity theory, the sensing graph is unnecessary to be rigid for local exponential stability of the formation. A numerical simulation is performed for illustrating effectiveness of our main results.

연구 동기 및 목표

• 글로벌 위치 측정 및 상대 에이전트 간 통신이 불가능한 GPS가 없는 환경에서 다중 에이전트 형성의 안정화 문제를 해결한다.
• 거리 기반 격자성의 한계를 극복한다. 이는 격자형 센서 그래프와 글로벌 좌표계를 요구한다.
• 각 에이전트의 국소 좌표 프레임에서의 국소 상대 이동 벡터 측정만을 기반으로 하는 분산 형성 제어 전략을 개발한다.
• 평면에서 무한소 약한 격자성에 대한 그래픽 조건을 수립하여 형성 안정성의 효율적 검증을 가능하게 한다.
• 센서 그래프가 격자형이 아니더라도 국소 지수 안정성을 보장하는 제어 법칙을 설계하여 네트워크 정보 흐름과 시스템 비용을 감소시킨다.

제안 방법

• 상대 간 이동 벡터 간의 쌍별 내적을 사용하여 약한 격자성을 프레임워크 특성으로 제안함으로써, 거리 기반 격자성보다 더 적은 제약 조건으로 기하학적 형상을 포괄한다.
• 삼각형 기반 간선 집합과 약한 격자성 행렬의 질량 분석을 사용하여 평면에서 무한소 약한 격자성에 대한 필요 및 충분한 그래픽 조건을 유도한다.
• 내적 편차 기반 비용 함수를 사용한 기울기 기반 제어 법칙을 설계하며, 국소 지수 안정성을 보장하기 위해 이득 행렬을 선택한다.
• 비기울기 제어 법칙을 제안하여 약한 격자형 센서 그래프에서도 형성을 안정화하며, 격자형 그래프가 필요 없고 통신 오버헤드를 줄인다.
• 행렬 완성 및 질량 분석을 사용하여 무한소 약한 격자성을 검증하며, 특히 약한 격자성 조건을 기반으로 한 행렬 $ \bar{R}_w^* $ 의 질량에 중점을 둔다.
• 정규 육각형을 형성하는 6개의 에이전트 시스템을 사용한 수치 시뮬레이션을 수행하며, 센서 그래프로 경로 그래프를 사용하여 이론적 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 글로벌 좌표계나 상대 에이전트 간 통신 없이 국소 좌표계에서의 상대 이동 측정만으로 형성을 안정화시킬 수 있는가?
• RQ2 평면에서 프레임워크가 무한소 약하게 격자형이 되기 위해 필요한 최소 제약 조건(이동 벡터의 내적 기반)은 무엇인가?
• RQ3 약한 격자성은 거리 기반 격자성과 비교할 때 필요한 그래프 연결성과 제약 조건 수에서 어떻게 다른가?
• RQ4 센서 그래프가 격자형이 아니더라도 비기울기 제어 법칙을 사용하여 목표 형성의 국소 지수 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ5 약한 격자성 하에서 비기울기 제어 방식의 이득 행렬에 대해 어떤 조건이 지수 안정성을 보장하는가?

주요 결과

• 삼각형 기반 간선 집합을 사용하여 평면에서 무한소 약한 격자성에 대한 필요 및 충분한 그래픽 조건을 도출하였으며, 이는 격자성 행렬의 질량 계산 없이도 효율적인 검증이 가능하다.
• 기울기 기반 제어 법칙의 경우, 무한소 약하게 격자형 형성은 국소 지수 안정성을 보이며, 자이아본 매트릭스의 고유값 분석을 통해 수렴이 확인된다.
• 에이전트 수가 공간의 차원보다 1만큼 많을 경우(예: 2차원에서 3개의 에이전트), 최소 무한소 약하게 격자형 형성은 거의 전역적 점근적 안정성을 달성한다.
• 비기울기 제어 법칙은 센서 그래프가 격자형이 아니더라도 국소 지수 안정성을 달성하며, 이는 약한 격자성이 거리 기반 격자성보다 충분하고 더 엄격하지 않음을 보여준다.
• 시뮬레이션에서 비대칭 이득 행렬 $ K $ 를 사용한 결과, 자이아본 $ J^* $ 의 고유값은 열린 왼쪽 반평면에 위치해 있었고, 유일하게 3개의 영 고유값만 제외되었다. 이는 국소 지수 안정성을 확인한다.
• 수치 결과는 내적 편차 기반 비용 함수 $ V $ 가 지수적으로 0으로 감소하고, 간선 길이가 목표값 2로 수렴함을 보여주며, 제어 법칙의 성능을 검증한다.