[논문 리뷰] Weak* sequential closures in Banach space theory and their applications

Mikhail I. Ostrovskii|ArXiv.org|2002. 03. 14.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 43인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 가산 바나흐 공간의 쌍대 공간에서의 약한* 순서수 폐쇄를 조사하며, 특정 순서수 단계에서 부분공간이 폐쇄가 되는 조건을 규명한다. 임의의 가산 순서수 α에 대해 (c₀)* = ℓ₁ 내에 존재하는 부분공간 중에서 약한* 순서수 폐쇄가 단계 α에 도달하는 것이 증명되며, 이는 Borel 계층 구조의 관점에서 선형 연산자의 역행렬을 분류하는 데 응용된다.

ABSTRACT

Let X be a Banach space. Given a subset A of the dual space X* denote by $A_{(1)}$ the weak* sequential closure of A, i.e., the set of all limits of weak*-convergent sequences in A. The study of weak* sequential closures of linear subspaces of the duals of separable Banach spaces was initiated by S.Banach. The first results of this study were presented in the appendix to his book "Theorie des operations lineaires" (1932). It is natural to suppose that the reason for studying weak* sequential closures by S. Banach and S. Mazurkiewicz was the lack of acquaintance of S. Banach and his school with concepts of general topology. Although the name "General topology" was introduced later, the subject did already existed. F. Hausdorff introduced topological spaces in his book published in 1914, Alexandroff-Urysohn (1924) studied compactness, and A.Tychonoff published his theorem on compactness of products in 1929. Also J.von Neumann introduced the notion of a weak topology in his paper published in 1929. Using the notions of a topological space and the Tychonoff theorem, more elegant treatment of weak and weak* topologies, and the duality of Banach spaces was developed by L.Alaoglu, N.Bourbaki and S.Kakutani (1938-1940). Nevertheless, an "old-fashioned" treatment of S.Banach still attracts attention. It happens because the "sequential" approach is very useful in several contexts. The main purpose of the paper is to describe the history of this direction of research and to give an up-to-date (1999) survey of the results on weak* sequential closures and their applications.

연구 동기 및 목표

• 분리 가능한 바나흐 공간의 쌍대공간에서 전체 부분공간의 약한* 순서수 폐쇄의 구조를 연구하며, 조화 분석, 불안정 문제, 연산자 이론 등 응용을 고려한다.
• 바나흐가 제기한 열린 문제를 해결한다: 부분공간의 약한* 순서수 폐쇄는 항상 추가적인 순서수 극한에 대해 닫혀 있는가?
• 분리 가능한 바나흐 공간의 쌍대공간에서 주어진 순서수 단계에서 약한* 순서수 폐쇄가 달성되는 조건을 특성화한다.
• 약한* 순서수 폐쇄 순서와 연속 선형 연산자의 역행렬의 Borel 복잡도 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 함수공간, 특히 L₁(0,1) 및 관련 공간에서 임의로 큰 약한* 순서수 폐쇄 순서를 갖는 부분공간의 존재를 위한 충분조건을 제시한다.

제안 방법

• 약한* 순서수 폐쇄의 초한 반복을 사용: 부분공간 A ⊂ X* 에 대해 A_(α) 를 β < α 인 모든 (A_(β))_(1) 의 합집합으로 정의한다.
• 바나흐의 기준을 적용: A = A_(1) 이다. X* 에서는 모든 f ∈ X* ∓ A 에 대해 f(x) = 1 이고 모든 a ∈ A 에 대해 a(x) = 0 인 x ∈ X 가 존재한다.
• 모든 x ∈ X 에 대해 ||f|| ≤ M 이고 |f(x)| = ||x|| 를 만족하는 f ∈ A 가 존재하는 일관된 상한 M 이 존재함으로써 A_(1) = X* 인지를 특성화한다.
• 하나의 부분공간 L ⊂ F* 의 단위공간 내에서 약한* 밀도를 갖는 수열을 사용하여 해석적 커널을 가진 적분 연산자 T: F → G 를 구성하며, 이들 연산자의 역행렬이 사전에 정해진 Borel 계열을 갖도록 한다.
• 함수들이 공통 도메인 Δ ⊃ [0,1] 에서 정의된 해석적 계속성을 갖는다. 이를 통해 F 를 L₁(0,1) 에 임베딩하고 F* 상의 함수들을 생성한다.
• 쌍대성 원리를 적용: F 의 원소들을 U ⊂ F* 상의 함수로 간주하여 W ⊂ U* 의 부분공간을 형성하고, U* 에서 cl(W) 가 무한 차원임을 이용해 임의의 폐쇄 순서를 갖는 부분공간의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 가산 순서수 α 에 대해, A ⊂ (c₀)* = ℓ₁ 인 부분공간 A 가 존재하여 A_(α) ≠ A_(α+1) 인가?
• RQ2 분리 가능한 바나흐 공간 F 와 그 쌍대공간 부분공간 U ⊂ F* 에 대해, 모든 가산 순서수 α 에 대해 U 가 약한* 순서수 폐쇄 순서 수준 α 의 전체 부분공간을 포함하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 연속 단사 선형 연산자 T: F → G 의 역행렬의 Borel 복잡도는 F* 의 부분공간의 약한* 순서수 폐쇄 순서로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 전체 부분공간 L ⊂ F* 가 주어진 순서수 단계 α 에 도달하는 약한* 순서수 폐쇄에 도달하는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ5 약한* 순서수 폐쇄를 어떻게 활용하여 주어진 Borel 계열을 갖는 역행렬을 가진 적분 연산자를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 가산 순서수 α 에 대해, A ⊂ (c₀)* = ℓ₁ 인 부분공간 A 가 존재하여 A_(α) ≠ A_(α+1) 이다. 이는 임의로 높은 약한* 순서수 폐쇄 순서를 갖는 부분공간의 존재를 확인한다.
• 분리 가능한 바나흐 공간 X 와 그 쌍대공간 X* 의 부분공간 A ⊂ X* 에 대해, A = A_(1) 이다. X* 에서는 모든 f ∈ X* ∓ A 에 대해 f(x) = 1 이고 모든 a ∈ A 에 대해 a(x) = 0 인 x ∈ X 가 존재한다.
• A_(1) = X* 인 필요충분조건은 모든 x ∈ X 에 대해 ||f|| ≤ M 이고 |f(x)| = ||x|| 를 만족하는 f ∈ A 가 존재하는 일관된 상한 M > 0 가 존재하는 것이다.
• F 를 F* 에 대한 쌍대성에 의해 이미지의 폐포 cl(F) 가 U* 에서 무한 차원이면, U 는 모든 가산 순서수 α 에 대해 약한* 순서수 폐쇄 순서 수준 α 의 전체 부분공간을 포함한다.
• 순서 수준 α 에 도달하는 전체 부분공간 L ⊂ U 와 해석적 계속성 조건을 만족하는 함수공간 G 가 주어지면, 해석적 커널을 가진 적분 연산자 T: F → G 가 존재하여 T⁻¹ 이 Borel 계열 α 에 속하지만 어떤 더 낮은 계열에도 속하지 않는다.
• 이전의 Menikhes 와 Plichko 의 구성들을 일반화하여, 무한히 미분 가능한 커널을 갖는 적분 연산자와 Borel 계열 1 에 속하지 않는 역행렬을 갖는 연산자의 존재를 보여준다.