[논문 리뷰] Weak solutions for a system of quasilinear elliptic equations

M. A. Ragusa, A. Razani|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 06.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^N$ 위에서 $p$-라플라시안과 $q$-라플라시안을 포함하는 비선형 타원형 연립방정식계에 대해, 변분법과 $O(N)$에 의한 군 불변성에 기반하여, 반지름 대칭인 약한 해의 무한수열이 존재함을 증명한다. 주요 결과는 비선형성과 가중치에 대해 적절한 성장 및 적분 조건이 만족될 경우, 매개수 $\lambda$의 특정 범위에서 이러한 해가 존재하며, 한 해열은 노름에서 발산하고 다른 해열은 약한 수렴으로 영으로 수렴한다는 것이다.

ABSTRACT

A system of quasilinear elliptic equations on an unbounded domain is considered. The existence of a sequence of radially symmetric weak solutions is proved via variational methods.

연구 동기 및 목표

• 유계가 아닌 영역 위에서 $p$-라플라시안과 $q$-라플라시안 연산자를 포함하는 비선형 타원형 연립방정식계에 대한 약한 해의 존재를 확립하는 것.
• Sobolev 공간 위에서 직교군 $O(N)$의 작용을 통해 반지름 대칭의 맥락에서 문제를 분석하는 것.
• 반지름 대칭 함수의 공간에서 변분법을 적용하여 약한 해에 해당하는 임계점을 식별하는 것.
• 해열이 노름에서 발산하거나 Sobolev 공간에서 영으로 약하게 수렴하는 조건을 규명하는 것.
• 콤���트 임베딩과 군 불변성을 통해 비유계 영역에서 임계점 이론의 적용 가능성을 확장하는 것.

제안 방법

• 에너지 함수 $ I_\nu $를 $ W^{1,p}(\mathbb{R}^N) \times W^{1,q}(\mathbb{R}^N) $의 곱공간 위에 정의함으로써 변분 프레임워크를 활용하며, $ p,q > N > 1 $.
• 직교군 $ O(N) $의 작용을 통해 반지름 대칭을 도입하여 문제를 반지름 대칭 함수의 부분공간 $ X = W^{1,p}_r(\mathbb{R}^N) \times W^{1,q}_r(\mathbb{R}^N) $로 제한.
• Palais의 대칭 임계점 원리를 적용하여, 불변 부분공간에 제한된 함수의 임계점이 전체 공간에서의 임계점임을 보장.
• 유계 시퀀스에 대해 순차적 컴팩트성을 보장하는 $ W^{1,p}_r(\mathbb{R}^N) $ 에서 $ L^\f{\mathbb{R}^N} $ 로의 콤팩트 임베딩 결과(정리 1.5)를 활용.
• 콤���트 지지와 제어된 노름을 가진 시퀀스 $ (H_{1n}, H_{2n}) $를 구성하여 $ I_\nu(H_{1n}, H_{2n}) \to -\infty $ 임을 보임으로써 함수가 아래로 유계가 아님을 시사.
• 임계점 정리(정리 2.1)를 적용하여, $ X $ 내에서 무한수열의 임계점이 존재함을 도출하며, 이는 시스템의 약한 해임을 의미함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 타원형 연립방정식계가 $ \mathbb{R}^N $ 위에서 $p$-라플라시안과 $q$-라플라시안 연산자를 포함할 때, 어떤 조건에서 반지름 대칭인 약한 해의 수열이 존재하는가?
• RQ2 비선형성 $ f_1, f_2 $, 가중치 함수 $ \alpha_1, \alpha_2 $, 그리고 매개수 $ \lambda $ 간의 상호작용이 해의 존재성과 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 비유계 영역에서 변분법이 효과적으로 적용되어, 노름에서 발산하거나 영으로 약하게 수렴하는 해를 생성할 수 있는가?
• RQ4 $O(N)$-불변성과 관련된 군 작용이 문제를 콤팩트한 설정으로 축소시키는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $ f_1, f_2 $의 성장률과 $ \alpha_1, \alpha_2 $의 $ L^1 $-노름에 대한 정량적 조건은 이러한 해열의 존재를 보장하는가?

주요 결과

• 비선형성 $ f_1, f_2 $의 성장률과 $ \alpha_1, \alpha_2 $의 $ L^1 $-노름에 의해 결정되는 특정 구간 내에 $ \lambda $가 있을 경우, 시스템 (1.1)에 대해 반지름 대칭인 약한 해의 무한수열이 존재한다.
• $ I_\lambda $ 함수가 $ (H_{1n}, H_{2n}) $ 시퀀스를 따라 아래로 유계가 아님을 보여, 임계점의 발산 수열 존재를 시사한다.
• $ \lambda \in \Lambda' = \left] \Omega, \frac{1}{(p c_1^p \|\alpha_2\|_1 + q c_2^q \|\alpha_1\|_1) A'} \right[ $ 일 때, $ W^{1,p}(\mathbb{R}^N) \times W^{1,q}(\mathbb{R}^N) $ 에서 영으로 약하게 수렴하는 약한 해의 수열이 존재한다.
• Palais 원리에 의해, 변분법을 통해 구한 임계점들이 $ O(N) $-불변임을 보장함으로써, 전체 공간에서의 약한 해임을 보장한다.
• $ 2 \leq N < p < \infty $ 일 때, $ W^{1,p}_r(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow L^\infty(\mathbb{R}^N) $ 의 콤팩트 임베딩은 수렴성과 유계성 증명에 핵심적이다.
• 두 개의 서로 다른 해열—하나는 발산하고 다른 하나는 영으로 약하게 수렴하는—의 존재는 $ f_1, f_2 $ 가 영과 무한대 근처에서의 상대적 성장률에 따라 결정되며, 이는 $ A' $, $ B_1' $, $ B_2' $, $ \Omega $ 등의 양으로 기술된다.