[논문 리뷰] Weakly holomorphic modular forms in prime power levels of genus zero

Paul A. Jenkins, DJ Thornton|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 23.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ N \in \{8, 9, 16, 25\} $ 인 소수 거듭제곱 수준에서의 무게 0의 약한 헬모르픽 모듈라 형식에 대한 정규 기저를 구성하며, 이러한 기저 원소의 푸리에 계수들이 수준의 소수의 고차 멱에 대해 합동 임을 증명한다. 이는 그리프의 수준 1 합동 결과를 수준 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16, 25로 확장하며, 이러한 형식에 대해 쟈지어 이중성과 생성 함수 성질을 확립한다.

ABSTRACT

Let $M_k^\sharp(N)$ be the space of weight $k$, level $N$ weakly holomorphic modular forms with poles only at the cusp at $\infty$. We explicitly construct a canonical basis for $M_k^\sharp(N)$ for $N\in\{8,9,16,25\}$, and show that many of the Fourier coefficients of the basis elements in $M_0^\sharp(N)$ are divisible by high powers of the prime dividing the level $N$. Additionally, we show that these basis elements satisfy a Zagier duality property, and extend Griffin's results on congruences in level 1 to levels 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16, and 25.

연구 동기 및 목표

• 수준 $ N \in \{8, 9, 16, 25\} $ 인 소수 거듭제곱에서 $ \Gamma_0(N) $ 가 종수 0을 가진 무게 0의 약한 헬모르픽 모듈라 형식의 공간 $ M_0^{ atural}(N) $ 에 대해 정규 기저를 명시적으로 구성한다.
• 이 기저 원소의 푸리에 계수 $ a_0^{(N)}(m,n) $ 가 $ N $ 을 나누는 소수의 고차 멱에 대해 나누어떨어짐을 증명하며, 레너와 그리프 유형의 합동을 새로운 수준으로 확장한다.
• 이 형식의 푸리에 계수들 사이에 쟈지어 이중성 성질을 확립하며, 낮은 수준에서 알려진 이중성 결과를 일반화한다.
• 그리프의 수준 1 모듈라 형식에 대한 합동 결과를 수준 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16, 25로 확장하며, $ \alpha > \beta $ 와 $ \alpha < \beta $ 의 두 경우를 모두 포함한다.

제안 방법

• 수준 $ N $ 에서의 정규 기저 원소 $ f_{0,m}^{(N)}(z) $ 는 $ q^{-m} + \sum_{n > n_0} a_0^{(N)}(m,n)q^n $ 의 푸리에 전개를 가지며, $ q^{-m} $ 항 이후의 갭을 최대화하는 $ M_0^{ atural}(N) $ 내의 유일한 형식으로 구성된다.
• $ V_p $ 와 $ U_p $ 연산자를 사용하여 수준 $ N $ 의 형식을 수준 $ p $ 의 형식과 연결하며, 특히 $ V_2(f_{0,m}^{(4)}) = f_{0,2m}^{(8)} $ 과 유사한 항등식을 $ N=9,16,25 $ 에서도 보인다.
• 모듈라 함수 $ \psi^{(p)}(z) = \left( \frac{\eta(z)}{\eta(pz)} \right)^{24/(p-1)} $ 와 그 역함수 $ \phi^{(p)}(z) $ 를 사용하여 $ j $-함수를 $ \psi^{(p)} $ 와 $ \phi^{(p)} $ 로 표현함으로써, 서로 다른 수준 간의 합동 비교를 가능하게 한다.
• $ f_{0,m}^{(1)}(z) $ 를 $ j(z) $ 의 다항식으로 표현한 후, $ \psi^{(p)}(z) $ 와 $ \phi^{(p)}(z) $ 에 대한 전개를 통해 $ f_{0,m}^{(p)}(z) $ 와 연결함으로써 합동을 유도하며, 차이가 소수 $ p $ 의 고차 멱으로 나누어떨어짐을 보인다.
• 수준 $ p $ 에서 알려진 합동을 $ V_p $ 연산자에 적용하여 고수준 $ p^k $ 로 확장하며, $ V_p $ 가 모듈라성을 유지하고 푸리에 계수의 구조를 존중함을 이용한다.
• 특정 $ c $ 에 대해 $ f_{0,m}^{(1)}(z) \equiv f_{0,m}^{(p)}(z) \pmod{p^c} $ 라는 항등식을 $ j(z) $ 를 $ \psi^{(p)} $ 와 $ \phi^{(p)} $ 로 전개한 결과로부터 유도하여, 합동을 수준 1 에서 수준 $ p $ 로 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수준 $ N \in \{8, 9, 16, 25\} $ 에서 $ M_0^{ atural}(N) $ 의 정규 기저 원소의 푸리에 계수들이 수준의 소수의 고차 멱에 대해 합동을 만족하는가? 이는 수준 1 및 낮은 수준의 결과와 유사한가?
• RQ2 이 소수 거듭제곱 수준에서 $ M_0^{ atural}(N) $ 의 정규 기저에 대해 푸리에 계수들 사이에 쟈지어 이중성 성질이 존재하는가?
• RQ3 그리프의 수준 1 모듈라 형식에 대한 합동 결과를 수준 8, 9, 16, 25로 확장할 수 있는가? 만약 가능하다면 정확한 모듈로는 무엇인가?
• RQ4 $ V_p $ 와 $ U_p $ 연산자가 수준 $ N = p^k $ 에서 정규 기저 원소에 어떻게 작용하는가? 서로 다른 수준 간의 형식을 연결하는 데 사용할 수 있는가?
• RQ5 이 수준들에서 $ j $-함수와 모듈라 함수 $ \psi^{(p)}(z) $ 및 $ \phi^{(p)}(z) $ 사이의 정확한 관계는 무엇이며, 이 관계는 계수의 합동을 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• 수준 $ N = 8 $ 에서, 푸리에 계수 $ a_0^{(8)}(2^\alpha m', 2^\beta n') $ 는 $ \beta > \alpha $ 일 때 $ a_0^{(8)}(2^\alpha m', 2^\beta n') \equiv 0 \pmod{2^{3(\beta - \alpha) + 8}} $ 를 만족하며, $ \alpha > \beta $ 일 때는 $ \equiv 0 \pmod{2^{4(\alpha - \beta) + 8}} $ 이다.
• 수준 $ N = 9 $ 에서, $ a_0^{(9)}(3^\alpha m', 3^\beta n') \equiv 0 \pmod{3^{3(\alpha - \beta) + 3}} $ 이며 $ \alpha > \beta $ 일 때, $ \beta > \alpha $ 일 때는 $ \equiv 0 \pmod{3^{2(\beta - \alpha) + 3}} $ 이다.
• 수준 $ N = 16 $ 에서, $ a_0^{(16)}(2^\alpha m', 2^\beta n') \equiv 0 \pmod{2^{4(\alpha - \beta) + 8}} $ 이며 $ \alpha > \beta $ 일 때, $ \beta > \alpha $ 일 때는 $ \equiv 0 \pmod{2^{3(\beta - \alpha) + 8}} $ 이다.
• 수준 $ N = 25 $ 에서, $ a_0^{(25)}(5^\alpha m', 5^\beta n') \equiv 0 \pmod{5^{2(\alpha - \beta) + 1}} $ 이며 $ \alpha > \beta $ 일 때, $ \beta > \alpha $ 일 때는 $ \equiv 0 \pmod{5^{(\beta - \alpha) + 1}} $ 이다.
• 정규 기저 원소는 쟈지어 이중성 성질을 만족한다: $ f_{0,m}^{(N)} $ 의 $ q^n $ 계수는 $ f_{0,n}^{(N)} $ 의 계수와 부호와 차수의 관계에 따라 이중성이 있다.
• $ f_{0,m}^{(1)}(z) $, $ f_{0,m}^{(2)}(z) $, $ f_{0,m}^{(3)}(z) $, $ f_{0,m}^{(5)}(z) $, $ f_{0,m}^{(7)}(z) $ 는 각각 $ 2^{16} $, $ 3^9 $, $ 5^5 $, $ 7^4 $ 모듈로에서 합동이며, 이는 합동 결과를 서로 다른 수준 간에 이전하는 데 유용하다.