[논문 리뷰] Weakly Lindelof determined Banach spaces not containing $\ell^1(N)$

Spiros A. Argyros|arXiv (Cornell University)|1992. 10. 30.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 새로운 유형의 가산으로 만족되는 집합의 가족을 사용하여 $\ell^1(\mathbb{N})$ 를 포함하지 않는 약한 리인델뢰프 결정(Weakly Lindelöf Determined, WLD) 바나흐 공간을 구성한다. 핵심 기여는 W.C.G. 공간의 유전성 성질에 대한 반례를 제시하는 것이다: W.C.G. 공간의 부분공간이 $\ell^1(\mathbb{N})$ 를 포함하지 않더라도 반드시 W.C.G.일 필요는 없으며, 이는 바나흐 공간 이론에서 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

The class of countably intersected families of sets is defined. For any such family we define a Banach space not containing $\ell^{1}(\NN )$. Thus we obtain counterexamples to certain questions related to the heredity problem for W.C.G. Banach spaces. Among them we give a subspace of a W.C.G. Banach space not containing $\ell^{1}(\NN )$ and not being itself a W.C.G. space.

연구 동기 및 목표

• 약한 컴act하게 생성된(W.C.G.) 바나흐 공간에 대한 유전성 문제를 다루기 위해.
• $\ell^1(\mathbb{N})$ 를 포함하지 않는 W.C.G. 공간의 부분공간이 반드시 W.C.G.여야 하는지 조사하기 위해.
• $\ell^1(\mathbb{N})$ 를 포함하지 않는 약한 리인델뢰프 결정(WLD) 바나흐 공간의 명시적 예를 구성하기 위해.
• W.C.G. 공간의 구조와 그 부분공간에 관한 미해결 문제를 해결하기 위해.

제안 방법

• 기초 도구로 가산으로 만족되는 집합의 가족의 개념을 도입한다.
• 이러한 가족에 기반한 바나흐 공간의 구조를 정의하여 $\ell^1(\mathbb{N})$-복사본의 존재를 보장한다.
• 쌍대성과 약한* 컴팩트 집합의 위상적 성질을 사용하여 WLD 구조를 확보한다.
• 함수해석학과 묘사 집합론의 기법을 적용하여 구성된 공간의 성질을 검증한다.
• 구성된 공간이 WLD이지만 W.C.G.는 아니라는 것을 입증한다.
• 공간이 W.C.G. 공간의 부분공간이지만 스스로 W.C.G.가 아니라는 것을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 W.C.G. 바나흐 공간의 부분공간이 $\ell^1(\mathbb{N})$ 를 포함하지 않더라도 W.C.G.일 수 없는가?
• RQ2 모든 $\ell^1(\mathbb{N})$ 를 피하는 WLD 바나흐 공간은 반드시 W.C.G.인가?
• RQ3 어떤 집합의 가족에 대한 구조적 조건이 $\ell^1(\mathbb{N})$ 를 포함하지 않는 WLD 바나흐 공간을 유도하는가?
• RQ4 W.C.G. 공간의 유전성 성질은 $\ell^1(\mathbb{N})$ 를 피하는 부분공간에 대해서도 유지되는가?
• RQ5 WLD 공간이 $\ell^1(\mathbb{N})$ 를 피하면서도 W.C.G.가 아니게 될 수 있는가?

주요 결과

• 새로운 유형의 가산으로 만족되는 집합의 가족이 정의되어, $\ell^1(\mathbb{N})$-복사본을 포함하지 않는 WLD 바나흐 공간의 구성이 가능해졌다.
• 구성된 공간은 약한* 컴팩트 집합이 쌍대 공간의 약한* 위상과 일치하도록 생성하는 약한 리인델뢰프 결정(WLD) 공간이다.
• 구성 방법에 의해 $\ell^1(\mathbb{N})$ 를 포함하지 않으며, 이는 보장된다.
• 공간은 W.C.G. 바나흐 공간의 부분공간이지만 스스로 W.C.G.가 아니며, 이는 유전성 W.C.G. 성질에 대한 반례를 제공한다.
• 이것은 바나흐 공간 이론에서 오랫동안 남아있던 W.C.G. 공간의 유전성에 관한 질문을 해결한다.
• 예시는 $\ell^1(\mathbb{N})$ 의 부재가 W.C.G. 공간의 부분공간이 W.C.G.임을 보장하지는 않는다는 것을 보여준다.