[논문 리뷰] Weakly nonlocal continuum physics - the Ginzburg-Landau equation

P. Ván|arXiv (Cornell University)|2002. 10. 18.

Thermoelastic and Magnetoelastic Phenomena참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 약한 비국소 연속체 열역학에서 리우 절차를 사용하여 기니츠부르크-란다 방정식의 열역학적으로 일관된 유도를 제시한다. 구성 상태 공간을 공간 기울기를 포함하도록 확장하고 엔트로피 부등식 제약 조건을 적용함으로써, 변분 원리에 의존하지 않고도 방정식을 도출한다. 이는 제2법칙에 기반한 기원을 확립하고, 재로컬라이저블 내부 변수 이론과의 차이를 명확히 한다.

ABSTRACT

Some peculiarities of the exploitation of the entropy inequality in case of weakly nonlocal continuum theories are investigated and refined. As an example it is shown that the proper application of the Liu procedure leads to the Ginzburg-Landau equation in case of a weakly nonlocal extension of the constitutive space of the simplest internal variable theories.

연구 동기 및 목표

• 변분 원리나 적당한 동역학적 가정에 의존하지 않고 기니츠부르크-란다 방정식의 열역학적으로 엄밀한 유도를 수립하기.
• 내부 변수에 기반한 재로컬라이저블 이론과 기니츠부르크-란다 방정식과 같은 비재로컬라이저블이고 패턴 형성 성질을 지닌 이론 간의 차이를 명확히 하기.
• 구성 상태 공간의 공간 도함수를 추가 제약 조건으로 간주함으로써 리우 절차를 약한 비국소 이론으로 확장하기.
• 일반화된 구성 상태 공간을 사용할 경우 엔트로피 부등식에서 기니츠부르크-란다 방정식이 자연스럽게 유도됨을 보여주기.
• 벡터형 제약 조건을 다룰 수 있는 Farkas의 보조정리 기반의 일반화된 리우 정리의 제시로 연속체 열역학에 적용 가능한 형태로 확장하기.

제안 방법

• 구성 함수와 그 공간 기울기를 포함한 확장된 상태 공간으로 약한 비국소 연속체 이론에 리우 절차를 적용한다.
• 기울기 항을 포함하는 일반화된 엔트로피 흐름을 도입하여 엔트로피 생산 부등식에 비국소 효과를 허용한다.
• 동적 제약 조건 하에서 엔트로피 생산의 음이 아닌 조건을 유도하기 위해 Farkas의 보조정리를 사용한다.
• 구성 상태 공간의 도함수 확장을 통해 발생하는 텐서값 제약 조건을 다루기 위해 리우 정리의 벡터형을 적용한다.
• 구성 상태 공간에 순서 매개변수의 공간 기울기를 포함할 경우 엔트로피 부등식의 해로서 기니츠부르크-란다 방정식을 도출한다.
• 엔트로피 부등식의 구조를 통해 재로컬라이저블 이론(균일 해)과 비재로컬라이저블 패턴 형성 이론(비균일 해)을 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본적인 변분 원리 없이도 기니츠부르크-란다 방정식을 열역학 원리로부터 도출할 수 있는가?
• RQ2 구성 상태 공간에 공간 기울기가 포함될 경우 비국소 진화 방정식을 도출하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 구속 조건의 도함수를 고려해야 하는 약한 비국소 이론에 리우 절차가 어떻게 적용되는가?
• RQ4 내부 변수에 기반한 재로컬라이저블 이론은 왜 패턴 형성 해를 생성하지 못하는가? 기니츠부르크-란다 방정식과의 차이는 무엇인가?
• RQ5 연속체 열역학에서 벡터형 제약 조건으로 리우 정리를 일반화하는 데 필요한 수학적 기초는 무엇인가?

주요 결과

• 기니츠부르크-란다 방정식은 구성 상태 공간에 순서 매개변수의 공간 기울기를 포함할 경우 엔트로피 부등식의 해로서 유도되며, 변분 원리가 필요하지 않다.
• 기니츠부르크-란다 방정식의 정적 부분은 가정된 것이 아니라 리우 절차를 통해 제2법칙의 결과로 자연스럽게 도출된다.
• 방정식은 비재로컬라이저블이다: 비균일 해는 패턴 형성을 나타내며, 내부 변수에 기반한 재로컬라이저블 이론과는 다름.
• 약한 비국소 이론에 리우 절차를 적용할 경우 진동 방정식의 도함수를 제약 조건으로 간주해야 하며, 이는 국소 이론과의 핵심적 차이점이다.
• Farkas의 보조정리를 사용하여 벡터형 리우 정리의 일반화된 형태를 도출하였으며, 이는 열역학 모델링에서 텐서값 제약 조건을 다룰 수 있게 한다.
• 이 방법은 기니츠부르크-란다 방정식이 약한 비국소 프레임워크로 확장되었을 때 일반 균형 및 구성 구조와 호환됨을 보여준다.