[논문 리뷰] Weakly turbulent solutions for the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation

J. Colliander, M. Keel외 3명|ArXiv.org|2008. 08. 13.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 45인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 2차원 입자형 비선형 슈뢰딩거 방정식의 매끄럽고 전역적인 해를 구성하여, $L^2$-노름과 $H^1$-에너지의 보존에도 불구하고 고차 소볼레프 노름 $\|u(t)\|_{H^s}$, $s>1$에서 임의로 큰 성장을 보이게 한다. 메커니즘은 약한 터뷸런스를 포함한다: 에너지가 제어 가능한 공명 상호작용의 연속을 통해 고주파수 푸리에 모드로 유도되며, 이는 특정 주파수 지원을 가진 초기 자료를 설계하고, 유한차원의 절단된 ODE 시스템에서 불변 다각면 근처의 확산 유사 동역학을 이용함으로써 달성된다.

ABSTRACT

We consider the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation on the two dimensional torus. We exhibit smooth solutions for which the support of the conserved energy moves to higher Fourier modes. This weakly turbulent behavior is quantified by the growth of higher Sobolev norms: given any delta << 1, K >>1, s >1, we construct smooth initial data u_0 with ||u_0||_{{H}^s} < delta, so that the corresponding time evolution u satisfies ||u(T)||_{{H}^s} > K at some time T. This growth occurs despite the Hamiltonian's bound on ||u(t)||_{\dot{H}^1} and despite the conservation of the quantity ||u(t)||_{L^2}. The proof contains two arguments which may be of interest beyond the particular result described above. The first is a construction of the solution's frequency support that simplifies the system of ODE's describing each Fourier mode's evolution. The second is a construction of solutions to these simpler systems of ODE's which begin near one invariant manifold and ricochet from arbitrarily small neighborhoods of an arbitrarily large number of other invariant manifolds. The techniques used here are related to but are distinct from those traditionally used to prove Arnold Diffusion in perturbations of Hamiltonian systems.

연구 동기 및 목표

• 2차원 입자형 비선형 슈뢰딩거 방정식의 매끄러운 해가 $L^2$-노름과 $H^1$-에너지의 보존에도 불구하고 고차 소볼레프 노름 $H^s$, $s>1$에서 임의로 큰 성장을 보일 수 있음을 보이기.
• 에너지가 고주파수 푸리에 모드로 전달될 수 있도록 제어 가능한 주파수 지원을 가진 초기 자료를 설계하여 이러한 해를 구성하기.
• 유한차원의 NLS 시스템 절단에서 불변 다각면 간의 제어 가능한 반사 작용을 통해 약한 터뷸런스의 메커니즘을 확립하기.
• 전통적인 아르놀트 확산 기법과는 다름없이 해밀토니안 PDE에서의 에너지 확산을 위한 새로운 접근법을 제공하기.

제안 방법

• 저자들은 슈뢰딩거 방정식을 푸리에 계수의 진화를 기술하는 무한 개의 ODE 시스템으로 축소시킨다.
• 푸리에 모드의 동역학이 전체 시스템의 유한차원 공명 절단이 되도록 유한한 주파수 집합 $\Lambda$를 구성한다.
• 핵심적인 공명 상호작용을 포착하고 명시적인 확산 경로의 구성이 가능한 '토이 모델' ODE 시스템을 도입한다.
• 일부 불변 다각면 근처의 초기 자료를 설계하고, 작은 교란을 통해 임의로 많은 다른 불변 다각면과 순차적으로 상호작용하는 궤적을 구성한다.
• 작은 교란의 영향을 확대하기 위해 척도 변환 기법을 사용하여 $H^s$-노름에서 임의로 큰 성장을 가능하게 한다.
• 유한 시간 간격 동안 절단된 시스템의 해가 전체 NLS 해의 행동을 잘 근사한다는 보조정리를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 입자형 비선형 슈뢰딩거 방정식의 매끄러운 해는 $s>1$에서 $H^s$-노름에서 무한대 성장을 보일 수 있는가?
• RQ2 초기 $H^s$-노름이 매우 작고, 이후 어떤 시간에 $H^s$-노름이 매우 큰 해를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ3 $L^2$-노름이나 $H^1$-에너지의 증가 없이 에너지가 고주파수 푸리에 모드로 어떻게 확산되는가?
• RQ4 유한차원 근사와 제어 가능한 불변 다각면 상호작용을 통해 NLS에서의 약한 터뷸런스를 엄밀하게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $s>1$, $K\gg 1$, $\delta\ll 1$에 대해, $\|u(0)\|_{H^s} \leq \delta$ 이고 어떤 $T>0$ 에서 $\|u(T)\|_{H^s} \geq K$ 를 만족하는 2차원 입자형 비선형 슈뢰딩거 방정식의 매끄럽고 전역적인 해 $u(t,x)$ 가 존재한다.
• 구성된 해들은 점점 더 높은 푸리에 모드로 에너지를 전달하며, 이는 $H^s$-노름의 증가로 정량화되며, $L^2$-노름과 $H^1$-에너지가 유지된다.
• 이 메커니즘은 NLS 시스템의 유한차원 공명 절단에서 다수의 불변 다각면과의 작은 제어 가능한 상호작용의 연속에 기반한다.
• 이 구성은 전통적인 아르놀트 확산 기법을 피하고, 새로운 주파수 지원 설계와 척도 변환 기법을 통해 작은 교란의 영향을 확대한다.
• 저자들은 2차원 입자형 NLS가 $\mathbb{T}^2$에서 점근적으로 선형 해를 가지지 않음을 증명하여, 특정 장기적 행동을 배제한다.
• 증명은 모순에 기반하며, 만약 해가 점근적으로 선형이었다면 공간적으로 일정해야 하며, 이는 비자명한 에너지 확산와 모순됨을 보여준다.