[논문 리뷰] Weight functions and log-optimal investment portfolios

Yuri Suhov, Izabella Stuhl외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 06.

Economic theories and models참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 수익 평가에서 다양한 결과에 대해 다른 중요도를 할당하는 가중치 함수를 도입하여 로그 최적 투자 포트폴리오 이론을 확장한다. 특정 조건 하에서 가중 로그 성장률이 초마르팅게일임을 증명하고, 최적 전략은 가중치 함수의 형태에 관계없이 반환 함수에만 의존하는 비례 베팅임을 보이며, 반환 함수와 가중치 함수에 대한 조건을 만족할 경우 이를 마르팅게일로 만든다.

ABSTRACT

Following the paper by Algoet--Cover (1988), we analyse log-optimal portfolios where return evaluation includes `weights' of different outcomes. The results are twofold: (A) under certain conditions, logarithmic growth rate is a supermartingale, and (B) the optimal (martingale) investment strategy is a proportional betting; it does not depend on the form of the weight function, although the optimal rate does. The existence of an optimal investment strategy has been established earlier in a great generality by Kramkov--Schachermayer (2003) although our underlying assumptions are different.

연구 동기 및 목표

• 표준 가정을 초월하여 임의의 가중치 함수를 통합함으로써 로그 최적 포트폴리오 이론을 일반화하기 위해.
• 가중 로그 성장률이 초마르팅게일임을 보장하는 조건을 설정하기 위해.
• 가중 수익 평가 하에서 최적 투자 전략의 형태를 규명하기 위해.
• 가중치 함수의 형태에 관계없이 최적 전략이 여전히 비례 베팅임을 보여주기 위해.
• 가중 로그 최적 포트폴리오에서 마르팅게일 전략이 존재하는 데 필요한 명시적 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 과거 결과 $ \mathfrak{F}_{n-1} $ 에 대해 측정 가능한 예측 가능한 투자 전략 $ C_n $ 을 사용하여 동적 의사결정을 보장한다.
• 가중 로그 성장률 $ S_N = \sum_{j=1}^N \varphi_j(\varepsilon_j; \underline{\varepsilon}_1^{j-1}) \log \frac{Z_j}{Z_{j-1}} $ 를 정의하며, 여기서 $ \varphi_j $ 는 음이 아닌 가중치 함수이다.
• 보조 함수 $ b_n(x_n) $ 를 통한 측도의 변화를 적용하여 $ S_n - \alpha n $ 의 초마르팅게일 및 마르팅게일 성질을 유도한다.
• 두 가지 핵심 조건을 도입한다: (1) $ \int \varphi_n(x_n; \underline{\varepsilon}_1^{n-1}) b_n(x_n) g_n(x_n) d\mu_n(x_n) = 0 $ 거의 확실히, 그리고 (2) $ \int \varphi_n b_n d\mu_n \leq \mathbb{E}[\varphi_n | \mathfrak{F}_{n-1}] $ 거의 확실히.
• 이산 및 연속 설정에서 최적 성장률 $ \alpha $ 의 명시적 표현을 유도하며, 가우시안 및 i.i.d. 경우를 포함한다.
• 반환 함수 $ g(x) $ 가 $ \Sigma_0 $ 와 $ \Sigma $ 를 포함한 특정 함수 형태를 만족할 경우 최적 전략은 비례 베팅 $ C_n = D Z_{n-1} $, $ D \in (0,1) $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중 로그 성장률 $ S_N $ 이 초마르팅게일이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 가중치 함수가 도입되었을 때 최적 투자 전략이 여전히 비례 베팅임이 유지되는가?
• RQ3 가중 성장 과정이 마르팅게일이 되기 위해 반환 함수 $ g(x) $ 가 가져야 할 함수 형태는 무엇인가?
• RQ4 최적 성장률 $ \alpha $ 는 가중치 함수 $ \varphi(x) $ 와 기초 분포에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 결과는 $ \mathbb{R}^d $ 와 가우시안 분포를 갖는 연속 결과 공간으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 예측 가능한 전략 $ C_n $ 이 $ 1 + \frac{C_n g_n(\varepsilon_n)}{Z_{n-1}} > 0 $ 를 만족할 경우, 모든 $ C_n $ 에 대해 가중 로그 성장률 $ S_n - \alpha n $ 은 초마르팅게일이며, $ \alpha $ 는 기대 성장률의 상한이다.
• 마르팅게일 구조는 반환 함수 $ g(x) $ 가 $ g(x) = \frac{1}{D} \left\{ [\det(\Sigma_0 \Sigma^{-1})]^{1/2} e^{-x^T(\Sigma^{-1} - \Sigma_0^{-1})x/2} - 1 \right\} $ 를 만족하고 $ C_n = D Z_{n-1} $, $ D \in (0,1) $ 일 때에만 존재한다.
• 최적 전략은 가중치 함수의 형태에 관계없이 비례 베팅 $ C_n = D Z_{n-1} $ 이며, 최적 성장률 $ \alpha $ 만이 $ \varphi $ 에 따라 달라진다.
• 이산 케이스에서 $ m=2 $ 일 경우, 마르팅게일 전략은 $ E_1 = -E_2 $, $ \varphi(E_1) = \varphi(E_2) $, 그리고 $ D = \frac{2p_1 - 1}{E_1} $ 일 때에만 존재하며, 이 경우 $ C_n = \frac{Z_{n-1}}{E_1}(2p_1 - 1) $ 이다.
• i.i.d. 가우시안 결과 $ \varepsilon_n \sim N(0, \Sigma) $ 에 대해 최적 성장률은 $ \alpha = \frac{1}{[(2\pi)^d \det \Sigma]^{1/2}} \int_{\mathbb{R}^d} \varphi(x) e^{-x^T \Sigma^{-1}x/2} \cdot \frac{1}{2} \left\{ x^T(\Sigma_0^{-1} - \Sigma^{-1})x + \log[\det(\Sigma_0 \Sigma^{-1})] \right\} dx $ 이다.
• 마르팅게일 전략의 존재는 가중치 함수 $ \varphi $ 와 반환 함수 $ g $ 가 적분 조건 (37) 과 (38) 을 만족할 때에만 보장되며, 이는 드리프트가 0임을 보장한다.