[논문 리뷰] Weight Reduction for Quantum Codes

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고중량 안정자 생성자를 일정 중량(O(1))으로 변환하면서 논리 큐비트 수를 유지하는 CSS 안정자 코드를 위한 무게 감소 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 반복적인 큐비트 분할과 안정자 분해를 사용하여, 제어 가능한 물리 큐비트 증가와 거리 감소를 수반하는 강력한 LDPC 코드를 구축할 수 있게 하며, 고차원 다양체 코드 및 균형 잡힌 거리 향상 응용 분야를 지원한다.

ABSTRACT

We present an algorithm that takes a CSS stabilizer code as input, and outputs another CSS stabilizer code such that the stabilizer generators all have weights $O(1)$ and such that $O(1)$ generators act on any given qubit. The number of logical qubits is unchanged by the procedure, while we give bounds on the increase in number of physical qubits and in the effect on distance and other code parameters, such as soundness (as a locally testable code) and "cosoundness" (defined later). Applications are discussed, including to codes from high-dimensional manifolds which have logarithmic weight stabilizers. Assuming a conjecture in geometry\cite{hdm}, this allows the construction of CSS stabilizer codes with generator weight $O(1)$ and almost linear distance. Another application of the construction is to increasing the distance to $X$ or $Z$ errors, whichever is smaller, so that the two distances are equal.

연구 동기 및 목표

• 높은 거리의 양자 코드를 저중량 안정자 생성자로 달성하는 데 오랫동안 해결되지 않은 과제를 해결하기 위해.
• 임의의 CSS 안정자 코드를 강력한 LDPC 코드로 체계적으로 변환하여 O(1) 생성자 무게와 큐비트 참가도를 갖는 절차를 개발하기 위해.
• 물리 큐비트 수와 코드 거리의 악화를 정량적으로 제한하면서도 논리 큐비트 수를 유지하기 위해.
• 고차원 다양체에서 유래한 양자 코드와 균형 잡힌 거리 코드 응용 분야를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 반복적인 큐비트 분할을 적용한다: 각 큐비트는 X형 안정자로 연결된 큐비트 체인으로 대체되어 X형 생성자에 대한 큐비트 참가도를 감소시킨다.
• 고도수 큐비트에 작용하는 각 X형 생성자에 대해, 이는 큐비트와 안정자로 이루어진 선형 체인으로 대체되며, 각 큐비트당 X형 생성자 수가 최대 3개로 감소된다.
• Z형 안정자는, 분할된 큐비트에 대한 각 Z 연산자를 해당 체인에 대응하는 곱으로 대체함으로써 수정되며, 이로 인해 무게가 원래 X형 도수의 최대 배수로 증가한다.
• 다른 분할 방법이 도입되며, 이는 각 큐비트당 X형 생성자 참가도를 3으로 줄이지만 Z형 생성자 무게를 원래 X형 도수의 배수로 증가시킨다.
• 이 과정은 X형과 Z형 양쪽에 대해 반복적으로 적용되어, 모든 안정자 생성자와 큐비트 참가도 수가 O(1)로 제한됨을 보장한다.
• 이 방법은 대수적 위상수학과 호모로지 대수학에 기반하며, 체인 복합체와 경계 사상( boundary maps)을 사용하여 무게와 가환성 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고중량 안정자 생성자를 갖는 CSS 안정자 코드를 O(1) 생성자 무게와 O(1) 큐비트 참가도로 변환할 수 있는가? 이 과정에서 논리 정보를 상실하지 않는다.
• RQ2 안정자 무게를 감소시킬 때 물리 큐비트 수와 코드 거리 사이의 상호 교환 관계는 어떠한가?
• RQ3 이 변환 절차를 고차원 다양체에서 유래한 코드에 적용하여, 일정 중량 생성자를 갖는 거의 선형 거리 코드를 얻을 수 있는가?
• RQ4 이 절차는 국소적으로 검증 가능한 코드로서의 코드의 타당성(sounds) 및 반타당성(cosounds) 매개변수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 무게 감소 프레임워크를 사용하여 코드의 X 및 Z 거리를 균형 잡을 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 모든 안정자 생성자가 O(1) 무게를 가지며, 각 큐비트가 최대 O(1) 개의 생성자에 참가하는 새로운 CSS 코드를 생성하며, 논리 큐비트 수를 유지한다.
• 물리 큐비트 수는 원래 코드의 최대 생성자 무게와 도수에 따라 다항식 수준으로 최대 배수로 증가하며, 감소 순서에 따라 달라진다.
• 코드 거리가 감소할 수는 있지만, 이 감소는 원래 코드의 매개변수(예: d_X 및 d_Z)에 기반하여 유한하고 제어 가능한 범위 내에 있다.
• 고차원 다양체에서 유래한 코드에 적용할 경우(기하학적 추측을 가정할 때), 이 방법은 O(1) 생성자 무게와 거리 Θ(N^{1−ε})를 갖는 코드를 생성한다. 여기서 ε > 0 이다.
• 이 방법은 더 작은 거리 측면을 더 큰 측면에 맞추어 조정함으로써 X 및 Z 거리를 균형 잡을 수 있게 하여 비대칭 오류에 대한 코드의 강건성을 향상시킨다.
• 이 절차는 하위계 무게 감소와 다릅니다. 왜냐하면 안정자 코드의 구조를 유지하고 하위계 코드를 생성하지 않기 때문이다.