[논문 리뷰] Weighted bootstrap in GARCH models

László Varga, András Zempléni|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 06.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 볼atility 모델링에서 표본 크기가 작은 경우의 추론을 향상시키기 위해 GARCH 모델에 대해 가중 부트스트랩 방법을 도입한다. 다중 부트스트랩 가중치를 준수 최대우도 추정량(QMLE)에 적용함으로써, 최소한의 계산 부담으로 점점 더 타당한 신뢰구간을 달성하며, 표본 크기가 1,000일 때조차도 강력한 표본 내 성능을 보이며, 100,000 개의 관측치에 수렴할수록 정확도가 향상된다.

ABSTRACT

GARCH models are useful tools in the investigation of phenomena, where volatility changes are prominent features, like most financial data. The parameter estimation via quasi maximum likelihood (QMLE) and its properties are by now well understood. However, there is a gap between practical applications and the theory, as in reality there are usually not enough observations for the limit results to be valid approximations. We try to fill this gap by this paper, where the properties of a recent bootstrap methodology in the context of GARCH modeling are revealed. The results are promising as it turns out that this remarkably simple method has essentially the same limit distribution, as the original estimatorwith the advantage of easy confidence interval construction, as it is demonstrated in the paper. The finite-sample properties of the suggested estimators are investigated through a simulation study, which ensures that the results are practically applicable for sample sizes as low as a thousand. On the other hand, the results are not 100% accurate until sample size reaches 100 thousands - but it is shown that this property is not a feature of our bootstrap procedure only, as it is shared by the original QMLE, too.

연구 동기 및 목표

• 작은 표본에서 표준 근사 근사이론이 무력화되는 바탕이 되는 GARCH 모델에서 점점 더 타당한 이론과 실용적 적용 간 격차를 해소한다.
• GARCH 과정에서 준수 최대우도 추정량(QMLE)의 표본 내 추론을 향상시킨다.
• 가중 부트스트랩 방법의 성능을 평가하여, 매개변수 추정 및 신뢰영역 구축에 있어 점점 더 타당한 근사의 실용적 대안으로서의 가능성을 검토한다.
• 가중 부트스트랩이 원래 QMLE 추정량의 점점 더 타당한 분포를 유지하면서도 쉽게 간격 추정이 가능하다는 것을 입증한다.

제안 방법

• 부트스트랩 가중치 τₙᵢ가 데이터와 독립이면서 동일하게 분포된 i.i.d. 이라는 조건 하에, 가중 부트스트랩(다중 부트스트랩) 접근법을 채택하여 재표본화된 로그우도를 생성한다.
• 원래 관측치 대신 τₙᵢXᵢ를 사용하여 동일한 QMLE 프레임워크를 활용해 가중 로그우도 함수 lₙᵗ*를 최대화함으로써 부트스트랩 추정량을 구성한다.
• 정규 조건, 즉 혼돈항과 가중치의 정적성 및 모멘트 조건 하에서 부트스트랩 추정량의 점점 더 타당한 정규분포를 확립한다.
• 마팅게일 중심극한정리와 버르슈타인 부등식을 사용하여, 부트스트랩 측도 하에서 점수 함수와 관측 피셔 정보량이 점점 더 타당한 극한으로 수렴함을 증명한다.
• 슬러츠키의 보조정리와 크라머-울드 장치를 적용하여, QMLE의 부트스트랩 분포가 원래 추정량과 동일한 점점 더 타당한 정규분포로 수렴함을 확인한다.
• 다양한 표본 크기에서 QMLE와 부트스트랩 추정량을 비교하는 시뮬레이션 연구를 통해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 표본 조건 하에서 GARCH 모델의 QMLE에 대해 가중 부트스트랩이 점점 더 타당한 분포를 유지하는가?
• RQ2 표본 크기가 작을 경우(예: n = 1,000)에 가중 부트스트랩이 GARCH 매개변수에 대해 정확한 신뢰구간을 생성할 수 있는가?
• RQ3 표본 크기가 작을 경우에 부트스트랩 추정량의 성능은 원래 QMLE와 비교해 복개율과 크기 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ4 QMLE 추정에서 관찰된 유한 표본 편향은 부트스트랩 절차에 의해 완화되는가?
• RQ5 금융 자료에서 흔히 볼 수 있는 무거운 尾(꼬리)를 가진 잔여항이 존재할 경우에도 부트스트랩 방법은 여전히 타당한가?

주요 결과

• 가중 부트스트랩 추정량은 원래 QMLE와 동일한 점점 더 타당한 분포를 달성하여 추론에 대해 이론적으로 타당성을 보장한다.
• 이 방법은 점점 더 타당한 근사에 의존하지 않고도 간편하게 신뢰구간을 구성할 수 있도록 해주며, 이는 표본 크기가 작은 경우에 신뢰할 수 없는 근사이기 때문이다.
• 시뮬레이션 결과는 표본 크기가 1,000일 때조차도 부트스트랩이 잘 작동함을 보이며, 복개율이 명목 수준에 매우 가까운 것으로 나타났다.
• 이 방법의 표본 내 정확도는 표본 크기가 증가함에 따라 향상되며, 약 100,000 개의 관측치에 도달할 무렵에야 100%의 정확도에 도달한다—다만 이 제한은 부트스트랩에만 국한된 것이 아니라 원래 QMLE에게도 공통된 문제이므로 특별한 단점은 아니다.
• 부트스트랩 방법은 중앙에 있는 잔여항이 무거운 꼬리일 경우에도 강건하여, 꼬리가 두꺼운 수익률을 보이는 금융 시계열에 적합하다.
• 마팅게일 중심극한정리와 균일 적분 가능성에 기반한 이론적 근거는 부트스트랩 점수와 정보행렬이 진짜 극한으로 수렴함을 보장한다.