[논문 리뷰] Weighted frames of exponentials and stable recovery of multidimensional functions from nonuniform Fourier samples

Ben Adcock, Milana Gatarić외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 13.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 43인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최소 간격 요구 조건 없이도 밀도가 충분한 비균일 푸리에 샘플링 점들로 다차원 및 컴팩트 지원 함수를 가중 푸리에 프레임을 통해 안정적으로 복원할 수 있음을 입증한다. 구체적으로 구의 지원을 가진 함수에 대해 차원에 의존하지 않는 명시적 프레임 상한을 제공하며, NUGS 알고리즘을 통해 안정적이고 준최적의 복원이 가능하다. 이는 라디얼 및 나선형 패턴과 같은 실용적 샘플링 체계에서 검증되었다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of recovering a compactly supported multivariate function from a collection of pointwise samples of its Fourier transform taken nonuniformly. We do this by using the concept of weighted Fourier frames. A seminal result of Beurling shows that sample points give rise to a classical Fourier frame provided they are relatively separated and of sufficient density. However, this result does not allow for arbitrary clustering of sample points, as is often the case in practice. Whilst keeping the density condition sharp and dimension independent, our first result removes the separation condition and shows that density alone suffices. However, this result does not lead to estimates for the frame bounds. A known result of Groechenig provides explicit estimates, but only subject to a density condition that deteriorates linearly with dimension. In our second result we improve these bounds by reducing the dimension dependence. In particular, we provide explicit frame bounds which are dimensionless for functions having compact support contained in a sphere. Next, we demonstrate how our two main results give new insight into a reconstruction algorithm---based on the existing generalized sampling framework---that allows for stable and quasi-optimal reconstruction in any particular basis from a finite collection of samples. Finally, we construct sufficiently dense sampling schemes that are often used in practice---jittered, radial and spiral sampling schemes---and provide several examples illustrating the effectiveness of our approach when tested on these schemes.

연구 동기 및 목표

• 비균일 푸리에 샘플링 점들 간의 최소 간격 요구 조건을 제거하면서도 다변수 컴팩트 지원 함수의 안정적 복원을 유지하는 것.
• 함수가 구 위에 지원될 경우 가중 푸리에 프레임에 대해 차원에 의존하지 않는 명시적 프레임 상한을 제공하는 것.
• 유한한 비균일 샘플에서의 안정적이고 준최적의 복원을 위해 일반화된 샘플링 프레임워크(NUGS)를 다변수 설정으로 확장하는 것.
• 진동, 라디얼, 나선형과 같은 실용적 샘플링 체계를 새로운 이론적 프레임워크 하에서 분석하고 수치적으로 그 효과를 검증하는 것.
• 비균일 샘플을 사용할 때 어떤 유한차원 함수 공간에서도 복원의 안정성과 정확성을 보장하는 이론적 기반을 확립하는 것.

제안 방법

• 샘플링 점들 간의 간격 요구 조건 없이도 비균일 샘플링을 처리할 수 있도록 가중 푸리에 프레임을 도입하는 것.
• 밀도 조건인 베르링의 조건을 활용하며, 컴팩트하고 볼록하며 대칭인 지원에 대해 날카롭고 차원에 의존하지 않는 임계값 δ_E^∘ < 1/4 를 도입하는 것.
• 구 위에 지원되는 함수에 대해 차원에 의존하지 않는 명시적 프레임 상한을 유도하며, 기존 그로헨히의 결과보다 선형 차원 의존성에 비해 향상된 결과를 도출하는 것.
• 비균일 푸리에 샘플에서 어떤 유한차원 공간에서도 함수를 복원하기 위해 NUGS(비균일 일반화 샘플링) 프레임워크를 적용하는 것.
• 진동, 라디얼, 나선형과 같은 실용적 샘플링 체계를 구성하고, 이들이 요구되는 밀도 조건 δ_E^∘ < 1/4 를 충족하는지 분석하는 것.
• 수치 실험을 통해 이러한 샘플링 패턴을 사용할 경우 테스트 함수에 대해 안정적이고 준최적의 복원이 이루어지는지 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일 푸리에 샘플링에서 최소 간격 조건을 제거해도 다차원 함수의 안정적 복원이 보장될 수 있는가?
• RQ2 함수의 지원이 구일 경우 가중 푸리에 프레임에 대해 차원에 의존하지 않는 명시적 프레임 상한은 무엇인가?
• RQ3 NUGS 알고리즘이 비균일 샘플에서의 안정적 복원을 위해 다변수 설정으로 어떻게 확장되고 정당화될 수 있는가?
• RQ4 라디얼 및 나선형 경로와 같은 실용적 샘플링 체계가 이론적 밀도 조건 δ_E^∘ < 1/4 를 충족하고 안정적 복원을 가능하게 하는가?
• RQ5 비균일 샘플의 NUGS 프레임워크에서 샘플링 대역폭 K와 복원 정확도 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 샘플링 점들 간의 간격이 없더라도 밀도 조건 δ_E^∘ < 1/4 를 만족하면 가중 푸리에 프레임이 존재하는 데 충분하다.
• 구 위에 지원되는 함수에 대해 차원에 의존하지 않는 명시적 프레임 상한이 도출되었으며, 이는 기존 그로헨히의 결과보다 선형 차원 의존성에 비해 크게 향상되었다.
• 샘플링 밀도가 δ_E^∘ < 1/4 를 만족하고 샘플링 대역폭 K가 충분히 크다면 NUGS 알고리즘이 안정적이고 준최적의 복원을 보장한다.
• 진동, 라디얼, 나선형 샘플링 체계 모두 (K, δ_E^∘)-밀도 조건을 충족하며 δ_E^∘ < 0.25 를 만족하여 안정적 복원이 가능하다.
• 수치 실험 결과, 이론적 조건을 만족할 경우 이러한 체계에서의 복원이 낮은 밀도에서도 높은 정확도를 달성함을 확인하였다.
• 이론적 프레임워크는 웨이브릿, 다항식, 커브릿 등 어떤 유한차원 공간에서도 복원을 지원하며, 밀도 조건을 만족할 경우 안정적 복원이 보장된다.