[논문 리뷰] Weighted Hardy spaces associated with elliptic operators. Part III: Characterizations of $H_L^{p}(w)$ and the weighted Hardy space associated with the Riesz transform

Cruz Prisuelos-Arribas|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 15.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 두 번째 순서의 발산형 타원형 연산자 $L$에 관련된 가중치가 부여된 하르디 공간 $H^p_L(w)$에 대해 $0 < p < 1$일 때 분자 특성 표현을 수립한다. 이는 열과 파oisson 반군에서 유도된 콘형 제곱 함수와 비접선 최대 함수를 이용하여 이루어지며, 이러한 공간들이 $p \in W_w(p^-(L), p^+(L))$ 범위에서 $L^p(w)$와 등장하는 것과 동치임을 증명한다. 또한, 리프스 변환 $ abla L^{-1/2}$과 제곱 함수 $S_H$를 통해 정의된 하르디 공간들이 $p$와 $q$의 특정 범위에서 동치임을 보이며, 추출법과 비대칭 추정을 통해 최적 범위를 확장하여 무게 없는 이론을 일반화하고 가중치가 부여된 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We consider Muckenhoupt weights $w$, and define weighted Hardy spaces $H^p_{\mathcal{T}}(w)$, where $\mathcal{T}$ denotes a conical square function or a non-tangential maximal function defined via the heat or the Poisson semigroup generated by a second order divergence form elliptic operator $L$. In the range $0

연구 동기 및 목표

• 두 번째 순서의 발산형 타원형 연산자 $L$에 관련된 가중치가 부여된 하르디 공간 $H^p_L(w)$에 대해 $0 < p < 1$일 때 분자 특성 표현을 제공한다.
• conical 제곱 함수 또는 비접선 최대 함수를 나타내는 $T$에 대해 $H^p_T(w)$와 $L^p(w)$ 사이의 등장성 관계를 $p \in W_w(p^-(L), p^+(L))$ 범위에서 수립한다.
• $p$와 $q$의 특정 범위에서 리프스 변환 $ abla L^{-1/2}$과 제곱 함수 $S_H$를 통해 정의된 하르디 공간 $H^p_{\nabla L^{-1/2},q}(w)$와 $H^p_{S_H,q}(w)$ 사이의 동치성을 증명한다.
• 추출법, 비대칭 추정 및 복소 보간을 이용하여 가중치가 부여된 하르디 공간 이론을 확장함으로써, $w \equiv 1$일 때 무게 없는 결과를 완전히 복원한다.

제안 방법

• 열 반군과 파oisson 반군에서 유도된 conical 제곱 함수와 비접선 최대 함수를 이용하여 Muckenhoupt 가중치 $w$를 사용해 가중치가 부여된 하르디 공간 $H^p_T(w)$를 정의한다.
• 복소 보간과 추출 기법을 적용하여 $L^p(w)$에서의 유계성 결과를 하르디 공간으로 확장한다.
• 반군 $\{e^{-t^2L}\}_{t>0}$와 $\{e^{-tL}\}_{t>0}$에 대한 비대칭 추정을 활용하여 연산자 노름과 감쇠 행동을 제어한다.
• $0 < p < 1$일 때, $H^p_L(w)$에 대한 분자 분해를 구성하기 위해 가중치가 부여된 레베그 공간 내 분자를 정의하며, 가중치 노름과의 호환성을 확보한다.
• 텐스페이스 이론과 conical 제곱 함수에 대한 가중치가 부여된 노름 부등식을 활용하여 유계성 및 딱성 결과를 도출한다.
• $\nabla L^{-1/2}$와 $S_H$의 $L^p(w)$ 유계성에 기반하여, 노름 추정과 보간을 통해 $H^p_{\nabla L^{-1/2},q}(w)$와 $H^p_{S_H,q}(w)$ 사이의 동치성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 순서의 발산형 타원형 연산자 $L$에 대해 $0 < p < 1$일 때, 분자를 사용하여 가중치가 부여된 하르디 공간 $H^p_L(w)$를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 $H^p_T(w)$가 $L^p(w)$와 등장하는 $p$의 범위는 무엇인가? 여기서 $T$는 $L$과 관련된 conical 제곱 함수 또는 비접선 최대 함수이다.
• RQ3 가중치가 부여된 설정에서 리프스 변환 $\nabla L^{-1/2}$과 제곱 함수 $S_H$를 통해 정의된 하르디 공간이 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 점별 커널 유계성 조건 없이, 가중치가 부여된 레베그 공간 소속성과 비대칭 추정만을 사용하여 $0 < p < 1$일 때 $H^p_L(w)$의 분자 특성 표현을 확립할 수 있는가?
• RQ5 $w \equiv 1$일 때, 결과들이 무게 없는 이론(Hofmann, Mayboroda, McIntosh)을 얼마나 완전히 복원하는가?

주요 결과

• $0 < p < 1$일 때, 가중치가 부여된 하르디 공간 $H^p_L(w)$는 $L^p(w)$ 내 분자를 사용하여 분자 특성 표현을 가진다. 이 분자 노름은 제곱 함수 또는 최대 함수 노름과 등가이다.
• $p \in W_w(p^-(L), p^+(L))$일 때, 공간 $H^p_T(w)$는 $L^p(w)$와 등장하며, 이 등장성은 가중치 클래스에 대해 균일하다.
• 리프스 변환 $\nabla L^{-1/2}$과 제곱 함수 $S_H$는 동일한 하르디 공간을 생성한다: $p \in W_w(q^-(L), q^+(L))$ 및 $q \in W_w(q^-(L), q^+(L))$일 때 $H^p_{\nabla L^{-1/2},q}(w) = H^p_{S_H,q}(w)$이다.
• 분자 분해는 가중치가 부여된 노름 부등식에 대해 안정적이며, 분자는 자연스럽게 $L^p(w)$에 속한다. 이는 보간과 추출 기법의 적용을 가능하게 한다.
• 결과는 $w \equiv 1$일 때 [26]과 [27]의 무게 없는 이론을 완전히 복원하며, 추출을 통해 최적의 유계성 범위를 확보한다.
• 증명은 비대칭 감쇠 추정, 텐스페이스 노름, $\nabla L^{-1/2}$의 가중치가 부여된 $L^p$ 유계성에 기반하며, 상수는 $n$, $p$ 및 $w$의 $A_p$ 특성에만 의존한다.