[논문 리뷰] Weighted Hardy spaces on the unit disk

Evgeny A. Poletsky|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 04.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 단위 원판에서 고갈 함수를 통해 정의된 가중 히르베르트 공간 $H^p_u(\mathbb{D})$에 대해, $p > 0$일 때 $f_t(z) = f(tz)$로 정의된 확대가 $H^p_u$-노름에서 $f$로 수렴함을 입증한다. 이는 다항함수가 $H^p_u(\mathbb{D})$에서 밀도를 이룬다는 것을 의미한다. 또한, 다항형함수의 $h^p_u$-노름이 경계값의 $L^p_u$-노름과 같음을 보이며, 이전에 알려진 것보다 더 강한 의미에서 측도 $\mu_{u,r}$가 $\mu_u$로 약한-* 수렴함을 밝힌다.

ABSTRACT

In this paper we mainly discuss three things. First, there is no canonical norm on the space $H^p_u(\mathbb{D})$. Second, we improve the weak-$*$ convergence of the measures $μ_{u,r}$. Third, the dilations $f_t$ of the function $f\in H^p_u(\mathbb{D})$ converge to $f$ in $H^p_u$-norm and hence the polynomials are dense in $H^p_u(\mathbb{D})$.

연구 동기 및 목표

• 가중 히르베르트 공간 $H^p_u(\mathbb{D})$에서 $p > 0$일 때 확대 $f_t(z) = f(tz)$의 수렴성을 조사한다.
• 확대 수렴성을 통해 $H^p_u(\mathbb{D})$에서 다항함수가 밀도를 이룬다는 것을 확립한다.
• 경계 $\mathbb{T}$에서 측도 $\mu_{u,r}$가 $\mu_u$로 수렴하는 약한-* 수렴성을 Demailly의 결과를 초월해 강화한다.
• $h^p_u$-노름과 경계값의 $L^p_u$-노름 간의 관계를 명확히 한다.
• 고갈 함수의 비유일성으로 인해 $H^p_u(\mathbb{D})$에 표준 노름이 존재하지 않음을 보여준다.

제안 방법

• 논문은 $H^p_u$-노름을 $|f|^p$와 $\Delta u$를 포함하는 적분으로 표현하기 위해 Lelong–Jensen 공식을 사용한다.
• 단조 수렴 정리와 조화함수의 성질을 적용하여, 노름 정의에서 $\varlimsup$를 $\lim$으로 대체한다.
• 레벨 집합 $S_{u,r}$에서의 적분 극한을 분석함으로써, $C^*(\overline{\mathbb{D}})$에서 $\mu_{u,r}$가 $\mu_u$로 약한-* 수렴함을 증명한다.
• Egorov의 정리와 경계값의 $L^p$-수렴성을 이용하여, $\|f_t - f\|_{H^p_u} \to 0$임을 보여 확대의 노름 수렴성을 확립한다.
• Poisson 적분 표현과 $|f|^p$의 하모닉성 성질을 활용하여 $\|f_t\|_{H^p_u}$와 $\|f^*\|_{L^p_u}$를 비교한다.
• 레벨 집합 $S_{u,r}$에서의 적분 극한과 경계 $L^p$-노름이 같음을 보여 $\|f\|_{H^p_u}^p = \|f^*\|_{L^p_u}^p$임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $f \in H^p_u(\mathbb{D})$에 대해 확대 $f_t(z) = f(tz)$는 $H^p_u$-노름에서 $f$로 수렴하는가?
• RQ2 $H^p_u(\mathbb{D})$에서 $p > 0$일 때 다항함수가 밀도를 이룬다?
• RQ3 $\mu_{u,r}$가 $\mu_u$로 수렴하는 약한-* 수렴성은 Demailly의 결과를 초월해 강화될 수 있는가?
• RQ4 유일한 고갈 함수에 의해 유도되는 표준 노름이 $H^p_u(\mathbb{D})$에 존재하는가?
• RQ5 $h^p_u$-노름과 경계 함수의 $L^p_u$-노름 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $f \in H^p_u(\mathbb{D})$와 $p > 0$에 대해 확대 $f_t(z) = f(tz)$는 $H^p_u$-노름에서 $f$로 수렴한다.
• 확대 수렴성의 결과로, $p > 0$일 때 다항함수가 $H^p_u(\mathbb{D})$에서 밀도를 이룬다.
• 측도 $\mu_{u,r}$는 $C^*(\overline{\mathbb{D}})$에서 $\mu_u$로 약한-* 수렴하며, 이 수렴은 이전에 알려진 것보다 더 강하다.
• 모든 $f \in H^p_u(\mathbb{D})$에 대해 $H^p_u$-노름은 그의 경로적 경계 함수 $f^*$의 $L^p_u$-노름과 같다.
• 다항형함수의 $h^p_u$-노름은 그 경계값 함수의 $L^p_u$-노름과 같다.
• 다른 고갈 함수들이 $\mathcal{E}_0$에 속할 때 같은 공간을 유도하지만, 단위 구를 다르게 만들므로 $H^p_u(\mathbb{D})$에는 표준 노름이 존재하지 않는다. 이들 단위 구의 교집합은 $H^\infty(\mathbb{D})$의 단위 구와 일치한다.