[논문 리뷰] Weighted $L_q$-estimates for stationary Stokes system with partially BMO coefficients

Hongjie Dong, Doyoon Kim|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 22.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Muckenhoupt $A_q$ 가중치를 사용하여 Reifenberg 평탄 도메인에서 부분적으로 BMO 계수를 가진 정적 스토크스 시스템에 대해 가중치가 부여된 $L_q$-추정과 유일한 해 존재성을 확립한다. 이는 이전 결과를 확장하여, 작은 평균 진동과 도메인의 평탄성 매개변수에 대해 최적의 의존성을 보장하는 가중치가 부여된 소볼레프 공간에서의 사전 추정과 해 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

We prove the unique solvability of solutions in Sobolev spaces to the stationary Stokes system on a bounded Reifenberg flat domain when the coefficients are partially BMO functions, i.e., locally they are merely measurable in one direction and have small mean oscillations in the other directions. Using this result, we establish the unique solvability in Muckenhoupt type weighted Sobolev spaces for the system with partially BMO coefficients on a Reifenberg flat domain. We also present weighted a priori $L_q$-estimates for the system when the domain is the whole Euclidean space or a half space.

연구 동기 및 목표

• Reifenberg 평탄 도메인에서 부분적으로 BMO 계수를 가진 정적 스토크스 시스템에 대해 표준 소볼레프 공간에서의 유일한 해 존재성을 확립하기 위해.
• Muckenhoupt 가중치가 부여된 소볼레프 공간 $W^{1}_{q,\rho}(\rho)$ 에 이론을 확장하여, 가중치 특성 $[\omega]_{A_q}$ 에 대해 최적의 의존성을 보장하기 위해.
• 전체 공간 또는 반공간에서 시스템에 대해 가중치가 부여된 사전 추정 $L_q$-추정을 증명하여 비가중치 결과를 일반화하기 위해.
• 소수성 매개변수 $\rho$ 가 차원, 타원성 상수, $q$ 에 따라 어떻게 의존하는지 명확히 하여, $L_q$-기반 공간에서의 해 존재성을 보장하기 위해.

제안 방법

• 리프엔베르그 평탄 도메인을 사용하여 리프쉐츠 도메인을 초월한 일반화를 이루며, 제어된 평탄성을 가진 거친 경계를 允허하기 위해.
• Muckenhoupt $A_q$ 가중치를 적용하여 결과를 가중치가 부여된 소볼레프 공간으로 확장하고, 가중치 특성 $[\omega]_{A_q}$ 를 명시적으로 추적하기 위해.
• 최대 함수 추정과 $A_q$ 가중치에 대한 역 헬더 부등식을 사용하여 기울기와 압력의 $L_q$-노름을 제어하기 위해.
• 계수의 부분적으로 BMO인 구조를 다루기 위해 캘러본–지그문트 유형의 커버링 추론과 국소화 기법을 적응하여 사용하기 위해.
• 데이터를 $L_{q_0}$ 에서 $L_{q,\omega}$ 로 전환하기 위해 절단 및 근사 기법을 사용하여 가중치 노름에서 수렴성을 확보하기 위해.
• 약한 유형 최대 함수 추정과 보간을 통해 사전 추정을 증명한 후, 밀도성과 컴actness 추론을 통해 해 존재성을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수와 도메인에 대해 어떤 조건이 가중치가 부여된 소볼레프 공간에서 정적 스토크스 시스템의 유일한 해 존재성을 보장하는가?
• RQ2 계수의 소수성 평균 진동과 경계의 평탄성이 함께 해 존재성과 사전 추정에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 계수가 한 방향에서는 가측성이고 다른 방향에서는 작은 BMO 진동을 가질 경우, 스토크스 시스템에 대해 가중치가 부여된 $L_q$-추정을 확립할 수 있는가?
• RQ4 해 존재성 임계값이 Muckenhoupt 가중치 특성 $[\omega]_{A_q}$ 와 소수성 매개변수 $\rho$ 에 대해 최적의 의존성을 가지는가?
• RQ5 정규성 가정을 유지하면서 결과를 비가중치에서 가중치가 부여된 $L_q$-공간으로 얼마나 넓힐 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 전체 공간 또는 반공간에서 부분적으로 BMO 계수와 $A_q$ 가중치를 가진 정적 스토크스 시스템에 대해 가중치가 부여된 사전 추정 $L_q$-추정을 증명한다.
• 계수가 부분적으로 BMO이고 평탄성/진동 매개변수 $\rho$ 가 충분히 작을 경우, 유계 Reifenberg 평탄 도메인에서 스토크스 시스템에 대해 $W^{1}_{q,\omega}(\Omega)^d \times L_{q,\omega}(\Omega)$ 에서의 유일한 해 존재성이 확립된다.
• $\rho$ 의 소수성은 $d$, $\delta$, $R_0$, $K$, $q$, $[\omega]_{A_q}$ 에만 의존하며, 이는 가중치 특성에 대해 최적의 의존성을 보장한다.
• 기울기 $Du$ 와 압력 $p$ 의 $L_q$-노름은 데이터 $f_\alpha$, $g$ 의 가중치가 부여된 노름과 $|Du|+|p|$ 의 $L_1$ 에서의 저차항에 의해 제어된다.
• 해 존재성 결과는 근사화를 통해 확보된다: $L_{q_0}$ 에서 데이터를 절단하고 $L_{q,\omega}$ 에서의 극한으로 넘어가며, $A_q$ 가중치에 대한 역 헬더 및 헬더 부등식에 의존한다.
• 최종 추정식 $\|Du\|_{L_{q,\omega}} \leq N\|Du\|_{L_1} + N\|f_\alpha\|_{L_{q,\omega}} + N\|g\|_{L_{q,\omega}}$ 이 증명되며, 이때 상수 $N$ 은 $d$, $\delta$, $R_0$, $R_1$, $K$, $q$, $[\omega]_{A_q}$, $\omega(\Omega)$ 에 의존한다.