[논문 리뷰] Weighted mixed-norm $L_p$ estimates for equations in non-divergence form with singular coefficients: the Dirichlet problem

Hongjie Dong, Tuoc Phan|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 14.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상반평면에서 비발산형 타입의 타원형 및 쌍곡형 방정식에 대해, 특이 계수를 가진 경우에 대해 경계 조건이 딜레르흐 조건인 경우 가중 혼합-norm $L_p$ 추정을 수립한다. 강한 해의 존재성과 유일성을 내재된 가중 Sobolev 공간에서 증명하며, 이는 가중치 $x_d^\gamma$ 가 $A_p$-Muckenhoupt 클래스 외부에 있을지라도 가능하다. 이는 $D_d^2u$ 뿐 아니라 $D_d^2u + \alpha x_d^{-1}D_d u$ 의 병합 항을 통제함으로써 이루어지며, $D_d^2u$ 만을 통제하는 것보다 더 효과적이다.

ABSTRACT

We study a class of non-divergence form elliptic and parabolic equations with singular first-order coefficients in an upper half space with the homogeneous Dirichlet boundary condition. In the simplest setting, the operators in the equations under consideration appear in the study of fractional heat and fractional Laplace equations. Intrinsic weighted Sobolev spaces are found in which the existence and uniqueness of strong solutions are proved under certain smallness conditions on the weighted mean oscillations of the coefficients in small parabolic cylinders. Our results are new even when the coefficients are constants and they cover the case where the weights may not be in the $A_p$-Muckenhoupt class.

연구 동기 및 목표

• 상반평면에서 특이 일阶 계수를 가진 비발산형 타원형 및 쌍곡형 방정식에 대해 가중 혼합-norm $L_p$ 추정을 수립하는 것.
• 가중치 $x_d^\gamma$ 가 $A_p$-Muckenhoupt 클래스에 속하지 않을 경우에도 딜레르흐 경계 조건 하에서 강한 해의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 핵심 추정이 $D_d^2u$ 뿐 아니라 $D_d^2u + \alpha x_d^{-1}D_d u$ 를 통제하는 내재된 가중 Sobolev 공간 이론을 개발하는 것.
• 분수 라플라스 및 열 방정식에서 발생하는 특이 계수를 가진 방정식으로 고전적인 Calderón-Zygmund 추정을 확장하는 것.
• 파arabolic 실린더 내에서 계수의 작은 가중 평균 진동 조건을 가정하여 해의 존재성을 보장하는 것, 최소한의 정규성 조건 하에서도 가능하도록 하는 것.

제안 방법

• 경계 근처의 특이 행동을 통제하기 위해 $\gamma \in (\alpha p - 1, 2p - 1)$ 인 가중치 $x_d^\gamma$ 를 사용하는 내재된 가중 Sobolev 공간의 사용.
• 특이 계수를 가진 비발산형 방정식의 맥락에서 Calderón-Zygmund 유형의 추론 기법을 응용하는 것.
• 해를 파라볼릭 실린더 내에서 국소화하고 추정하기 위해 가중 최대 함수와 커프오프 함수 $\eta_k$ 를 통한 이진 분해의 도입.
• 가중 $L_{q,p}$-노름과 수정된 연산자 $\mathfrak{M} = x_d^{-1}$ 의 사용을 통한 기능적 해석적 접근법을 활용하여 특이 항을 처리하는 것.
• 원래 방정식을 알려진 추정에 적합한 형태로 변환하기 위해 변수변환 $u = x_d^\beta v$ 의 적용, 특히 영차수 항 $b x_d^{-2} v$ 가 존재할 경우 유용하다.
• 이진 수준 $k$ 에 대한 합산을 통한 부트스트랩 추론 기법을 사용하며, 매개변수 $\lambda_k$ 를 철저히 선택하여 고차항을 흠모하고 합산 가능한 감쇠를 달성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치가 $A_p$-Muckenhoupt 클래스 외부에 있을 경우, 반평면에서 특이 계수를 가진 비발산형 방정식에 대해 가중 혼합-norm $L_p$ 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 특이 계수 $x_d^{-1}$ 가 존재할 때, $D_d^2u$ 가 적분 가능하지 않을 경우, $D_d^2u$ 의 제어는 어떻게 이루어질 수 있는가?
• RQ3 계수에 대한 조건(예: 파라볼릭 실린더 내에서 작은 가중 평균 진동)은 어떤 것이며, 이는 가중 Sobolev 공간에서 강한 해의 존재성과 유일성을 보장하는가?
• RQ4 고전적인 Calderón-Zygmund 이론은 어떤 정도까지 특이 저차항 $\alpha x_d^{-1} D_d u$ 를 포함하는 방정식으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 영차수 항 $b x_d^{-2} u$ 를 포함하는 경우 이 방법은 어떻게 확장될 수 있으며, $b$ 와 $\alpha$ 에 대해 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• 논문은 $\alpha \in (-\infty, 1)$, $p \in (1,\infty)$, $\gamma \in (\alpha p - 1, 2p - 1)$ 인 경우, $\Delta u + \alpha x_d^{-1} D_d u - \lambda u = f$ 의 딜레르흐 문제에 대해 유일한 강한 해가 존재하며, 이는 가중치 $x_d^\gamma$ 를 사용한 가중 $L_p$ 추정을 만족함을 증명한다.
• 핵심 추정은 $|D_d^2 u|^p$ 가 아니라 $|D_d^2 u + \alpha x_d^{-1} D_d u|^p$ 를 통제하며, 이는 계수의 특이성으로 인해 필수적이다.
• 계수가 상수일 경우조차도 결과는 새로운 것으로 간주되며, 가중치 $x_d^\gamma$ 가 $A_p$-Muckenhoupt 클래스에 속할 필요가 없다.
• 해의 존재성과 유일성은 파라볼릭 실린더 내에서 계수의 가중 평균 진동에 대한 소형 조건 하에서 확립된다.
• 변환 $u = x_d^\beta v$ 를 통해 영차수 항 $b x_d^{-2} u$ 를 포함하는 방정식으로 방법을 확장할 수 있으며, 이는 $\beta$ 를 적절히 선택하여 특이 항을 제거하고 이후에 정리 2.3 를 적용할 수 있도록 한다.
• 증명은 이진 분해와 $k$ 에 대한 합산 추론에 기반하며, 매개변수 $\lambda_k = \lambda_0 \rho_0^{-2} + (5N 2^k)^2$ 가 고차항의 감쇠를 보장하여 유한한 합으로 이어지고 주요 항이 흠모됨을 보여준다.