[논문 리뷰] Weighted Orthogonal Polynomials-Based Generalization of Wirtinger-Type Integral Inequalities for Delayed Continuous-Time Systems

Xian Zhang, Yuanyuan Han외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 16.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 지연된 연속시간 시스템의 안정성 분석을 위한 기존의 위르팅어 유형 및 젠센 부등식을 일반화하고 개선한 가중 치수 다항식 기반 적분 부등식의 새로운 클래스를 제안한다. 가중 내적에 대해 정규직교된 다항식을 활용하여 라플라스-크라소프스키 함수 도함수에 포함된 적분 항에 대해 더 날카운 하한을 제공함으로써, 더 보수적인 안정성 기준을 도출한다. 특수한 경우로 이전 문헌의 결과들이 회복되거나 개선된다.

ABSTRACT

In the past three years, many researchers have proven and/or employed some Wirtinger-type integral inequalities to establish less conservative stability criteria for delayed continu\-ous-time systems. In this present paper, we will investigate weighted orthogonal polynomials-based integral inequalities which is a generalization of the existing Jensen's inequalities and Wirtinger-type integral inequalities.

연구 동기 및 목표

• 지연된 연속시간 시스템에서 라플라스-크라소프스키 함수 도함수에 포함된 적분 항을 봉인하기 위한 더 날카운 적분 부등식을 개발하기 위해.
• 젠센 부등식 또는 위르팅어 유형 부등식을 통해 유도된 기존 안정성 기준에 내재된 보수성을 줄이기 위해.
• 젠센 부등식과 위르팅어 유형 부등식을 포함한 기존 적분 부등식들을 더 넓은 프레임워크의 특수한 경우로 통합하고 일반화하기 위해.
• 지연된 상태 및 그 도함수를 포함한 적분 항에 대한 개선된 하한을 도출하기 위한 가중 치수 다항식 기반 체계적 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 구간 $[a,b]$에서 가중 함수 $(s-a)^m$에 대해 정의된 가중 치수 다항식(WOPs)을 사용하여 일반적인 적분 부등식을 유도한다.
• 내적 $(p,q)_m = \int_a^b (s-a)^m p(s)q(s) \, ds$에 대해 차수 $\leq \mathcal{N}$의 다항식 공간에서 정규직교 기저 $\{p_{km}(s)\}$를 구성한다.
• 직교성 성질을 적용하여 적분 $\mathcal{I}_m(w_t) = \int_a^b \cdots \int_{\theta_m}^b w_t^T(s) R w_t(s) \, ds \cdots d\theta_1$에 대한 하한을 도출한다.
• 부등식 $\mathcal{I}_m(w_t) \geq \frac{(m+1)!}{(b-a)^{m+1}} \left( \Theta_m^T R \Theta_m + \text{고차항} \right)$를 수립하며, 여기서 $\Theta_m$은 $w_t(b)$의 가중 평균과 $w_t(s)$의 적분을 포함한다.
• 특히 $\mathcal{N} = 0$ 또는 $\mathcal{N} = 1$일 때 이 부등식이 알려진 결과(예: 젠센 부등식, 위르팅어 유형)로 축소되며, $\mathcal{N} \geq 2$일 경우 이를 개선함을 보여준다.
• 이 프레임워크를 활용하여 $\mathcal{N} = 0,1$에 대한 구체적 인용문을 도출하고, [11, 12, 14, 15, 16, 23, 29, 30]의 결과와 비교하여 더 날카운 하한을 제공함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중 치수 다항식을 사용하여 기존의 위르팅어 유형 및 젠센 부등식을 포함하고 개선하는 일반적인 적분 부등식 클래스를 구성할 수 있는가?
• RQ2 다항식 차수 $\mathcal{N}$의 선택이 $\mathcal{I}_m(w_t)$에 대한 하한의 날카움 정도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 새로운 부등식이 기존 방법에 비해 지연된 연속시간 시스템의 안정성 기준에서 보수성을 얼마나 줄이는가?
• RQ4 제안된 부등식이 [14, 15, 16, 29, 30]의 알려진 결과들과 동치이거나 엄밀히 더 보수적이지 않은가?

주요 결과

• 제안된 WOP 기반 부등식은 $\mathcal{N} = 0$일 때 젠센 부등식, $\mathcal{N} = 1$일 때 위르팅어 유형 부등식을 특수한 경우로 포함한다.
• $\mathcal{N} = 1$일 때, [8, 레마 5 및 6]보다 더 날카운 하한을 제공하며, 계수 $\frac{m!(m+1)^2(m+3)}{(b-a)^{m+1}}$가 [8]의 $\frac{m!(m+3)}{(b-a)^{m+1}}$보다 크다.
• $\mathcal{N} = 1$이고 $m=1$일 때, 부등식은 [15, (25)]와 일치하며, [11, 레마 2.4] 및 [12, (13)]보다 더 보수적이지 않음을 보여준다.
• $\mathcal{N} = 1$이고 $m=1$일 때 유도된 부등식은 [29, 레마 4] 및 [30, 레마 1]과 동치이지만, 자유 가중 행렬을 필요로 하지 않는다.
• 코로나리 13에서 유도된 $\mathcal{I}_1(\dot{w}_t)$의 하한은 [14, 코로나리 1]보다 더 날카우며, 두 번째 항의 계수가 더 크다.
• $(s-a)^k$를 $(b-s)^k$로 대체함으로써 이 프레임워크를 확장할 수 있으며, 이는 [18, 코로나리 4], [23, (3.1) 및 (3.8)], [15, (18) 및 (26)]를 일반화하는 새로운 부등식을 도출한다.