[논문 리뷰] Weighted Poincar\'e inequalities, concentration inequalities and tail bounds related to the behavior of the Stein kernel in dimension one

Adrien Saumard|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 11.

Random Matrices and Applications참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 1차원에서 스텐 밀도 접근법과 함수 불등식 사이의 연결 고리를 설정하며, 스텐 커널을 가중치로 사용하여 가중치가 부여된 파인카레 및 브라스앰프-라이브 불등식을 증명한다. 새로운 농도 및 尾 불등식을 유도하며, 일반화된 밀스의 불등식과 리프시츠 함수에 대한 서브-가우시안 농도 결과를 포함한다. 주요 기여는 농도 결과를 가능하게 하기 위해 래플라스 변환을 유계화하는 일반 레미너에 기반한 보조 정리이다.

ABSTRACT

We investigate the links between the so-called Stein's density approach in dimension one and some functional and concentration inequalities. We show that measures having a finite first moment and a density with connected support satisfy a weighted Poincar\'e inequality with the weight being the Stein kernel. Furthermore we prove asymmetric Brascamp-Lieb type inequalities related to the Stein kernel. We also show that existence of a uniformly bounded Stein kernel is sufficient to ensure a positive Cheeger isoperimetric constant. Then we derive new concentration inequalities. In particular, we prove generalized Mills' type inequalities when the Stein kernel is uniformly bounded and sub-gamma concentration for Lipschitz functions of a variable with sub-linear Stein kernel. When some exponential moments are finite, a general concentration inequality is then expressed in terms of Legendre-Fenchel transform of the Laplace transform of the Stein kernel. Along the way, we prove a general lemma for bounding the Laplace transform of a random variable, that should be very useful in many other contexts when deriving concentration inequalities. Finally, we provide density and tail formulas as well as tail bounds, generalizing previous results that where obtained in the context of Malliavin calculus.

연구 동기 및 목표

• 1차원 확률 분포에서 스텐 커널과 함수 불등식 간의 관계를 탐색하는 것.
• 스텐 커널을 가중치로 사용하여 가중치가 부여된 파인카레 및 브라스앰프-라이브 유형의 불등식을 수립하는 것.
• 서브-선형 또는 균일하게 유계인 스텐 커널을 가진 랜덤 변수에 대한 새로운 농도 및 尾 불등식을 도출하는 것.
• 농도 불등식 유도를 촉진하기 위해 랜덤 변수의 래플라스 변환을 유계화하는 일반 레미너를 개발하는 것.
• 마리아빈 미분법 프레임워크를 초월하여 기존의 밀도 및 尾 공식 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 유한한 첫 번째 모멘트와 연결된 지지집합을 가진 측도에 대해 스텐 커널을 가중치 함수로 사용하여 가중치가 부여된 파인카레 불등식을 유도한다.
• 1차원에서 스텐 커널의 구조에 기반한 비대칭 브라스앰프-라이브 불등식을 증명한다.
• 균일하게 유계인 스텐 커널 조건 하에서 양의 티히어 이소페리메트릭 상수를 확립한다.
• 랜덤 변수의 래플라스 변환을 유계화하는 일반 레미너를 적용하여 농도 불등식을 도출한다.
• 지수 모멘트가 유한할 경우, 스텐 커널의 래플라스 변환의 레전드르-펜체르 변환에 따라 농도 불등식을 표현한다.
• 기존의 마리아빈 미분법에 기반한 결과를 더 넓은 분포 클래스로 일반화한 명시적 밀도 및 尾 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스텐 커널은 1차원 분포에서 가중치가 부여된 파인카레 불등식과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 스텐 커널을 구조적 구성 요소로 사용하여 비대칭 브라스앰프-라이브 불등식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 스텐 커널에 어떤 조건이 성립할 경우 양의 티히어 이소페리메트릭 상수가 도출되는가?
• RQ4 스텐 커널이 균일하게 유계이거나 서브-선형인 경우 어떤 농도 불등식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 랜덤 변수의 래플라스 변환을 어떻게 유계화할 수 있으며, 이를 통해 일반적인 농도 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 첫 번째 모멘트와 연결된 지지집합을 가진 측도는 스텐 커널을 가중치 함수로 사용하여 가중치가 부여된 파인카레 불등식을 만족한다.
• 비대칭 브라스앰프-라이브 유형의 불등식이 확립되었으며, 이는 1차원에서 스텐 커널과 함수 불등식을 연결한다.
• 균일하게 유계인 스텐 커널은 양의 티히어 이소페리메트릭 상수를 보장하며, 이는 강력한 농도 성질을 의미한다.
• 스텐 커널이 균일하게 유계일 경우 일반화된 밀스 유형의 불등식이 도출된다.
• 서브-선형 스텐 커널을 가진 랜덤 변수의 리프시츠 함수에 대해 서브-가우시안 농도가 확립된다.
• 지수 모멘트가 유한할 경우, 스텐 커널의 래플라스 변환의 레전드르-펜체르 변환을 통해 일반 농도 불등식이 표현된다.