[논문 리뷰] Weighted power variations of fractional Brownian motion and application to approximating schemes

Mihai Gradinaru, Ivan Nourdin|arXiv (Cornell University)|2007. 10. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 허스트 지수 H ∈ (0,1)를 가진 분수 Brown 운동(fBm)의 가중된 거듭제곱 변동성을 조사하며, H < 1/2일 경우(특히 홀수 거듭제곱일 경우)와 H = 1/2일 경우의 수렴 행동이 다름을 규명한다. 이러한 결과를 바탕으로 fBm에 의해 구동되는 스칼라 스트로복티크 미분 방정식(SDE)의 수치적 해법에 대한 정확한 수렴 속도를 도출하고, 실제 해와 근사해 간 오차의 극한을 H에 대한 함수로 명시적으로 계산한다.

ABSTRACT

Abstract: The first part of the paper contains the study of the convergence for some weighted power variations of a fractional Brownian motion B with Hurst index H ∈ (0, 1). The behaviour is different when H &amp;lt; 1/2 and powers are odd, compared with the case when H = 1/2. In the second part, one applies the results of the first part to compute the exact rate of convergence of some approximating schemes associated to scalar stochastic differential equations driven by B. The limit of the error between the exact solution and the considered scheme (whose size depends on the Hurst index H) is computed explicitly.

연구 동기 및 목표

• 다양한 허스트 지수에서 분수 Brown 운동의 가중된 거듭제곱 변동성의 渐近적 행동을 분석하는 것.
• H < 1/2 이며 거듭제곱이 홀수일 경우와 H = 1/2일 경우의 수렴 역학이 어떻게 다름을 규명하는 것.
• fBm에 의해 구동되는 SDE의 수치적 근사 해법의 정확도를 평가하기 위해 변동성 수렴 이론 결과를 적용하는 것.
• 진짜 해와 근사 해 사이의 오차 극한을 허스트 지수 H에 따라 명시적으로 계산하는 것.

제안 방법

• 특히 H ∈ (0, 1/2) 및 홀수 거듭제곱에 대해, 확률적 분석 기법을 사용하여 fBm의 가중된 거듭제곱 변동성의 극한 행동을 유도하는 것.
• fBm의 가중된 함수적 수렴 결과와 극한 정리들을 적용하여 거듭제곱 변동성의 渐近적 분포를 분석하는 것.
• 거듭제곱 변동성의 수렴 성질을 이용하여 fBm 노이즈를 가진 확률 미분 방정식의 이산화 해법의 수렴 속도를 평가하는 것.
• Itô-Taylor 전개 또는 유사한 확률적 전개 기법을 적용하여 정확한 해와 수치적 해 사이의 오차를 표현하는 것.
• 첫 번째 단계에서 도출된 수렴 결과를 바탕으로 오차 항의 정확한 극한을 허스트 지수 H에 대한 함수로 유도하는 것.
• 오차 극한이 비퇴화되어 있으며, 특히 H < 1/2 및 H = 1/2 경우를 구분할 수 있도록 H에 따라 명시적으로 의존함을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H < 1/2 이며 거듭제곱이 홀수일 경우, 분수 Brown 운동의 가중된 거듭제곱 변동성은 어떻게 渐近적으로 행동하는가?
• RQ2 H < 1/2 이며 H = 1/2 일 경우의 가중된 거듭제곱 변동성의 수렴 행동에는 어떤 차이가 있는가?
• RQ3 fBm에 의해 구동되는 스칼라 SDE의 수치적 해법의 정확한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 정확한 해와 수치적 해 사이의 오차 극한은 허스트 지수 H에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 가중된 거듭제곱 변동성의 수렴 성질을 사용하여 오차의 극한을 명시적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• H < 1/2 이며 거듭제곱이 홀수일 경우, fBm의 가중된 거듭제곱 변동성은 H = 1/2일 경우와 근본적으로 다른 비퇴화된 극한으로 수렴한다.
• 특히 홀수 거듭제곱일 경우, H = 1/2에서 가중된 거듭제곱 변동성의 수렴 행동이 불연속적이며, 이는 渐近적 역학에서의 단계 전이를 나타낸다.
• 변동성 결과를 바탕으로 fBm에 의해 구동되는 SDE의 수치적 해법의 정확한 수렴 속도가 명시적으로 도출된다.
• 정확한 해와 근사 해 사이의 오차 극한은 0이 아니며, 명시적으로 허스트 지수 H에 따라 의존한다.
• 오차 극한이 비퇴화되어 있으며, 특히 H < 1/2 및 H = 1/2 영역 간에 상당한 차이를 보임이 입증된다.
• 이 연구는 fBm의 자기유사성 및 장기적 의존성 특성에 따라 오차의 渐近적 특성을 정밀하게 기술한다.