[논문 리뷰] Weighted sub-laplacians on metivier groups: Essential self-adjointness and spectrum

Calzi, M.|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 01.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 메티비에 군에서 $\alpha \geq 1$ 인 경우 가중 부분라플라시안 $L_{w_\alpha}$ 의 본질적 자기수반성을 확립하고, $N$ 이 카플란 노름일 때 $w_\alpha = e^{-N^\alpha}$ 이면 $L_{w_\alpha}$ 의 스펙트럼을 완전히 특성화한다: 스펙트럼은 오직 $\alpha > 2$ 일 때에만 순수 이산적이다. 이는 J. 잉글리스의 추측을 증명하는 것이다. 분석은 스키페링 연산자와의 유니타리 동치 및 스펙트럼의 이산성에 관한 시몬의 기준의 일반화에 기반한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a M\'etivier group and let $N$ be any homogeneous norm on $G$. For $\alpha>0$ denote by $w_\alpha$ the function $e^{-N^\alpha}$ and consider the weighted sub-Laplacian $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ associated with the Dirichlet form $\phi \mapsto \int_{G} | abla_\mathcal{H}\phi(y)|^2 w_\alpha(y)\, dy$, where $ abla_\mathcal{H}$ is the horizontal gradient on $G$. Consider $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ with domain $C_c^\infty$. We prove that $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ is essentially self-adjoint when $\alpha \geq 1$. For a particular $N$, which is the norm appearing in $\mathcal{L}$'s fundamental solution when $G$ is an H-type group, we prove that $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ has purely discrete spectrum if and only if $\alpha>2$, thus proving a conjecture of J. Inglis.

연구 동기 및 목표

• 메티비에 군에서 $\alpha \geq 1$ 인 경우 가중 부분라플라시안 $L_{w_\alpha}$ 의 본질적 자기수반성을 확립한다.
• 카플란 노름 $N$ 이면 $L_{w_\alpha}$ 의 스펙트럼에 관한 J. 잉글리스의 추측을 해결한다.
• 메티비에 군에서 $L_{w_\alpha}$ 가 순수 이산 스펙트럼을 갖는 $\alpha > 0$ 의 정확한 범위를 특성화한다.
• 잠재론적 방법을 사용하여 $0 < \alpha \leq 2$ 에 대해 이산성이 없음을 직접적으로 증명한다.

제안 방법

• 가중 함수 $w$ 와 그 수평 도함수들의 적분 가능성과 유계성에 기반한 $L_w$ 의 본질적 자기수반성에 대한 일반 기준을 수립한다.
• 유니타리 동치를 이용하여 $L_{w_\alpha}$ 를 $L^2(G, dy)$ 상의 스키페링 연산자 $L + V_\alpha$ 로 변환한다. 여기서 $V_\alpha = -\frac{1}{4}\frac{|\nabla_H w_\alpha|^2}{w_\alpha^2} - \frac{1}{2}\frac{L w_\alpha}{w_\alpha}$ 이다.
• 스키페링 연산자의 스펙트럼 이산성에 관한 B. 시몬의 정리의 일반화된 형태를 임의의 잠재력 $V_\alpha$ 에 적용한다.
• 서브레벨 집합 $\Omega_{\alpha,M} = \{(x,t) \in G : V_\alpha(x,t) \leq M\}$ 의 붕괴를 분석하여 다항식 밀도를 결정함으로써, 이는 스펙트럼 이산성의 필수 및 필요 조건이 된다.
• 준거리 추정과 실린더 포함 관계를 이용하여 큰 $|t|$ 에 대해 $\Omega_{\alpha,M} \cap B((x,t), r)$ 의 측도를 유계함을 보이며, $\alpha > 2$ 일 때 $|\Omega_{\alpha,M} \cap B((x,t), r)| \lesssim |t|^{n(2-\alpha)}$ 임을 보인다.
• $V_\alpha$ 가 $G^*$ 상에서 아래로 유계이자 연속적임을 증명함으로써, $\alpha > 2$ 일 때 유일한 자기수반 확장을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메티비에 군에서 $w_\alpha = e^{-N^\alpha}$ 이면, $\alpha > 0$ 에 대해 가중 부분라플라시안 $L_{w_\alpha}$ 는 $C_c^\infty(G)$ 상에서 본질적으로 자기수반인가?
• RQ2 카플란 노름 $N$ 이면, $\alpha > 2$ 일 때 $L_{w_\alpha}$ 의 스펙트럼이 순수 이산적이되는가?
• RQ3 카플란 노름 $N$ 이면, $0 < \alpha \leq 2$ 일 때 $L_{w_\alpha}$ 의 스펙트럼은 비이산적인가?
• RQ4 스키페링 연산자 형태에서 잠재력 $V_\alpha$ 의 서브레벨 집합의 붕괴를 통해 스펙트럼의 이산성이 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\alpha \geq 1$ 에 대해, 가중 부분라플라시안 $L_{w_\alpha}$ 는 $C_c^\infty(G)$ 상에서 본질적으로 자기수반이다.
• 카플란 노름 $N$ 이면, $L_{w_\alpha}$ 의 스펙트럼은 오직 $\alpha > 2$ 일 때에만 순수 이산적이다. 이는 잉글리스의 추측을 확인한다.
• 만일 $0 < \alpha \leq 2$ 이면, $L_{w_\alpha}$ 의 어떤 자기수반 확장도 순수 이산 스펙트럼을 갖지 않으며, 비유계 잠재론적 해를 통해 이를 보였다.
• $L_{w_\alpha}$ 와 관련된 잠재력 $V_\alpha$ 는 큰 $|t|$ 에 대해 $|\Omega_{\alpha,M} \cap B((x,t), r)| \lesssim |t|^{n(2-\alpha)}$ 를 만족하며, 이는 $\alpha > 2$ 일 때에만 다항식 밀도를 유도한다.
• $\alpha > 2$ 일 때, $L_{w_\alpha}$ 의 유일한 자기수반 확장은 순수 이산 스펙트럼을 가지며, 이에 대응하는 반군 $e^{-tL_{w_\alpha}}$ 는 모든 $t > 0$ 과 $1 < p < \infty$ 에 대해 $L^p(w_\alpha)$ 상에서 컴팩트하다.
• $\alpha > 2$ 일 때, $L^p(w_\alpha)$ 상에서 $L_{w_\alpha}$ 의 스펙트럼은 $p$ 에 독립적이다.